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八年级数学解答题一般
题目
已知,在等边三角形ABCABC中,点EE在ABAB上,点DD在CBCB的延长线上,且ED=ECED=EC.
(1)(1)【特殊情况,探索结论】
如图11,当点EE为ABAB的中点时,确定线段AEAE与DBDB的大小关系,请你直接写出结论:AE______DB(AE \_\_\_\_\_\_DB(填">\gt","<\lt"或"==").
(2)(2)【特例启发,解答题目】
如图22,当点EE为ABAB边上任意一点时,确定线段AEAE与DBDB的大小关系,请你直接写出结论,AE______DB(,AE \_\_\_\_\_\_DB(填">\gt","<\lt"或"==")；理由如下,过点EE作EFEF∥BC,BC,交ACAC于点F.(请你完成以下解答过程)F.(请你完成以下解答过程).
(3)(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABCABC中,点EE在直线ABAB上,点DD在线段CBCB的延长线上,且ED=ECED=EC,若△ABC\triangle ABC的边长为11,AE=2AE=2,求CDCD的长.
知识点：等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)AE=DB\left(1\right)AE=DB，理由如下：
∵ED=EC\because ED=EC，
∴∠D=∠ECD\therefore \angle D=\angle ECD，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60∘\therefore \angle ACB=\angle ABC=60^{\circ}，
∵\because点EE为ABAB的中点，
∴∠ECD=12∠ACB=30∘\therefore \angle ECD=\frac{1}{2}\angle ACB=30^{\circ}，AE=BEAE=BE，
∴∠D=30∘\therefore \angle D=30^{\circ}，
∵∠ABC=∠D+∠DEB\because \angle ABC=\angle D+\angle DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30∘\therefore \angle DEB=\angle ABC-\angle D=30^{\circ}，
∴∠DEB=∠D\therefore \angle DEB=\angle D，
∴DB=BE\therefore DB=BE，
∴AE=DB\therefore AE=DB；
故答案为：==；
(2)AE=DB(2)AE=DB，理由如下：
过点EE作EFEF∥BCBC，交ACAC于点FF，

则∠AEF=∠ABC\angle AEF=\angle ABC，∠AFE=∠ACB\angle AFE=\angle ACB，∠FEC=∠ECD\angle FEC=\angle ECD，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60∘\angle A=\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60∘\therefore \angle AEF=\angle AFE=\angle A=60^{\circ}，∠DBE=120∘\angle DBE=120^{\circ}，
∴△AEF\therefore \triangle AEF为等边三角形，∠EFC=120∘\angle EFC=120^{\circ}，
∴AE=EF\therefore AE=EF，
∵ED=EC\because ED=EC，
∴∠D=∠ECD\therefore \angle D=\angle ECD，
∴∠D=∠FEC\therefore \angle D=\angle FEC，
在△DBE\triangle DBE和△EFC\triangle EFC中，
{∠DBE=∠EFC=120°∠D=∠FECED=EC\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EFC=120°}\\{∠D=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.，
∴△DBE\therefore \triangle DBE≌△EFC(AAS)\triangle EFC\left(AAS\right)，
∴DB=EF\therefore DB=EF，
∴AE=DB\therefore AE=DB；
故答案为：==；
(3)CD(3)CD的长为33；理由如下：
过点EE作EFEF∥BCBC，交ACAC的延长线于点FF，如图33所示：

同（2）得：△AEF\triangle AEF是等边三角形,△DBE,\triangle DBE≌△EFC(AAS)\triangle EFC\left(AAS\right)，
∴AE=EF=2\therefore AE=EF=2，DB=EF=2DB=EF=2，
∵BC=1\because BC=1，
∴CD=BC+DB=3\therefore CD=BC+DB=3，
故CDCD的长为33.

解析

(1)AE=DB\left(1\right)AE=DB，理由如下：
∵ED=EC\because ED=EC，
∴∠D=∠ECD\therefore \angle D=\angle ECD，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60∘\therefore \angle ACB=\angle ABC=60^{\circ}，
∵\because点EE为ABAB的中点，
∴∠ECD=12∠ACB=30∘\therefore \angle ECD=\frac{1}{2}\angle ACB=30^{\circ}，AE=BEAE=BE，
∴∠D=30∘\therefore \angle D=30^{\circ}，
∵∠ABC=∠D+∠DEB\because \angle ABC=\angle D+\angle DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30∘\therefore \angle DEB=\angle ABC-\angle D=30^{\circ}，
∴∠DEB=∠D\therefore \angle DEB=\angle D，
∴DB=BE\therefore DB=BE，
∴AE=DB\therefore AE=DB；
故答案为：==；
(2)AE=DB(2)AE=DB，理由如下：
过点EE作EFEF∥BCBC，交ACAC于点FF，

则∠AEF=∠ABC\angle AEF=\angle ABC，∠AFE=∠ACB\angle AFE=\angle ACB，∠FEC=∠ECD\angle FEC=\angle ECD，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60∘\angle A=\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60∘\therefore \angle AEF=\angle AFE=\angle A=60^{\circ}，∠DBE=120∘\angle DBE=120^{\circ}，
∴△AEF\therefore \triangle AEF为等边三角形，∠EFC=120∘\angle EFC=120^{\circ}，
∴AE=EF\therefore AE=EF，
∵ED=EC\because ED=EC，
∴∠D=∠ECD\therefore \angle D=\angle ECD，
∴∠D=∠FEC\therefore \angle D=\angle FEC，
在△DBE\triangle DBE和△EFC\triangle EFC中，
{∠DBE=∠EFC=120°∠D=∠FECED=EC\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EFC=120°}\\{∠D=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.，
∴△DBE\therefore \triangle DBE≌△EFC(AAS)\triangle EFC\left(AAS\right)，
∴DB=EF\therefore DB=EF，
∴AE=DB\therefore AE=DB；
故答案为：==；
(3)CD(3)CD的长为33；理由如下：
过点EE作EFEF∥BCBC，交ACAC的延长线于点FF，如图33所示：

同（2）得：△AEF\triangle AEF是等边三角形,△DBE,\triangle DBE≌△EFC(AAS)\triangle EFC\left(AAS\right)，
∴AE=EF=2\therefore AE=EF=2，DB=EF=2DB=EF=2，
∵BC=1\because BC=1，
∴CD=BC+DB=3\therefore CD=BC+DB=3，
故CDCD的长为33.

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