（1）$\left\{\begin{array}{l}2x+y=3a\\ x-2y=-a-5\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=a+2}\end{array}\right.$，
由题意得：$x \gt 0$，$y \gt 0$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{a+2＞0}\end{array}\right.$，
解得：$a \gt 1$；
$(2)$由（1）可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=a+2}\end{array}\right.$，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为$x$，底边长为$y$时，
$\because$等腰三角形的周长为$15$，
$\therefore 2x+y=15$，
$2\left(a-1\right)+a+2=15$，
$2a-2+a+2=15$，
$3a=15$，
$a=5$，
$\therefore x=4$，$y=7$，
$\because 4+4=8 \gt 7$，
$\therefore$能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为$y$，底边长为$x$时，
$\because$等腰三角形的周长为$15$，
$\therefore x+2y=15$，
$a-1+2\left(a+2\right)=15$，
$a-1+2a+4=15$，
$3a=12$，
$a=4$，
$\therefore x=3$，$y=6$，
$\because 3+6=9 \gt 6$，
$\therefore$能组成三角形；
综上所述：$a=4$或$5$.

（1）$\left\{\begin{array}{l}2x+y=3a\\ x-2y=-a-5\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=a+2}\end{array}\right.$，
由题意得：$x \gt 0$，$y \gt 0$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{a+2＞0}\end{array}\right.$，
解得：$a \gt 1$；
$(2)$由（1）可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=a+2}\end{array}\right.$，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为$x$，底边长为$y$时，
$\because$等腰三角形的周长为$15$，
$\therefore 2x+y=15$，
$2\left(a-1\right)+a+2=15$，
$2a-2+a+2=15$，
$3a=15$，
$a=5$，
$\therefore x=4$，$y=7$，
$\because 4+4=8 \gt 7$，
$\therefore$能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为$y$，底边长为$x$时，
$\because$等腰三角形的周长为$15$，
$\therefore x+2y=15$，
$a-1+2\left(a+2\right)=15$，
$a-1+2a+4=15$，
$3a=12$，
$a=4$，
$\therefore x=3$，$y=6$，
$\because 3+6=9 \gt 6$，
$\therefore$能组成三角形；
综上所述：$a=4$或$5$.