（1）由表中数据可知，第一次加入$10g$氢氧化钠溶液，生成沉淀的质量为：$10g+100g-109.6g=0.4g$，第二次加入$10g$氢氧化钠溶液时，一共生成沉淀的质量为：$10g+10g+100g-119.2g=0.8g$，第三次加入$10g$氢氧化钠溶液时，一共生成沉淀的质量为：$10g+10g+10g+100g-128.84g=1.16g$，第四次加入$10g$氢氧化钠溶液时，一共生成沉淀的质量为：$10g+10g+10g+10g+100g-138.84g=1.16g$，所以共生成沉淀的质量是$1.16g$。
$(2)$由以上分析可知，硫酸镁完全反应；
设$100g$硫酸镁溶液中硫酸镁的质量为$x$。
$MgSO_{4}+2NaOH$═$Mg\left(OH\right)_{2}\downarrow +Na_{2}SO_{4}$
$120\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 58$
$x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1.16g$
$\frac{120}{58}=\frac{x}{1.16g}$
$x=2.4g$
则硫酸镁溶液的溶质质量分数为：$\frac{2.4g}{100g}\times 100\%=2.4\%$。
答：硫酸镁溶液的溶质质量分数为$2.4\%$。
故答案为：
$(1)1.16$；
$(2)2.4\%$。

（1）由表中数据可知，第一次加入$10g$氢氧化钠溶液，生成沉淀的质量为：$10g+100g-109.6g=0.4g$，第二次加入$10g$氢氧化钠溶液时，一共生成沉淀的质量为：$10g+10g+100g-119.2g=0.8g$，第三次加入$10g$氢氧化钠溶液时，一共生成沉淀的质量为：$10g+10g+10g+100g-128.84g=1.16g$，第四次加入$10g$氢氧化钠溶液时，一共生成沉淀的质量为：$10g+10g+10g+10g+100g-138.84g=1.16g$，所以共生成沉淀的质量是$1.16g$。
$(2)$由以上分析可知，硫酸镁完全反应；
设$100g$硫酸镁溶液中硫酸镁的质量为$x$。
$MgSO_{4}+2NaOH$═$Mg\left(OH\right)_{2}\downarrow +Na_{2}SO_{4}$
$120\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 58$
$x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1.16g$
$\frac{120}{58}=\frac{x}{1.16g}$
$x=2.4g$
则硫酸镁溶液的溶质质量分数为：$\frac{2.4g}{100g}\times 100\%=2.4\%$。
答：硫酸镁溶液的溶质质量分数为$2.4\%$。
故答案为：
$(1)1.16$；
$(2)2.4\%$。