B

检验氯离子用硝酸银溶液；检验氢氧根离子可用硝酸镁溶液；检验碳酸根离子可用硝酸钡溶液；由于碳酸根离子能与硝酸银溶液、硝酸镁溶液反应，分别生成碳酸银沉淀、碳酸镁沉淀，故要先检验碳酸根离子，再检验氢氧根离子、氯离子，由于氢氧根离子与银离子结合成的氢氧化银极不稳定，故要先检验氢氧根离子。仅用一份样品溶液，可先滴加硝酸钡溶液，产生白色沉淀，说明含有碳酸根离子；过滤，向滤液中再滴加$Mg(NO_{3})_{2}$溶液产生白色沉淀，说明含有氢氧根离子；过滤，再向滤液中再滴加$AgNO_{3}$溶液，产生白色沉淀，说明含有氯离子；故正确的实验操作顺序是④②①②③。
故选：$B$。