B

$A$、$KNO_{3}$在$30^{\circ}\mathrm{C}$时的溶解度为$45.8g$，该温度下，$I$中硝酸钾的质量为$5g$均溶解在$50g$水中，硝酸钾的质量分数为：$\frac{5g}{5g+50g}\times 100\%\approx 9.1\%$，故$A$错误；
$B$、$KNO_{3}$在$30^{\circ}\mathrm{C}$时的溶解度为$45.8g$，即$100g$水中溶解$45.8g$硝酸钾达到饱和，$50g$水中最多溶解$22.9g$，该温度下，$Ⅱ$中溶液是$10g$硝酸钾溶解在$50g$水中形成的，是不饱和溶液，故$B$正确；
$C$、$Ⅰ$中含有的$KNO_{3}$的质量是$5g$，$Ⅱ$中含有的$KNO_{3}$的质量是$10g$，溶剂的质量为$50g$，$Ⅰ$中$KNO_{3}$的质量分数是$9.1\%$，$Ⅱ$中$KNO_{3}$的质量分数是$\frac{10\;g}{10g+50g}\times 100\%\approx 16.7\%$，故$C$错误；
$D$、$KNO_{3}$在$20^{\circ}\mathrm{C}$时的溶解度为$31.6g$，即$100g$水中溶解$31.6g$硝酸钾达到饱和，$50g$水中最多溶解$15.8g$，而降温前，$50g$水中只溶解硝酸钾$10g$，所以Ⅲ中没有$KNO_{3}$晶体析出，故$D$错误。
故选：$B$。