C

$A$、比较溶解度大小，必须有温度的限制，故$A$错；
$B$、$t^{\circ}\mathrm{C}$时，$a$物质的溶解度是$80g$，即在该温度下，$100g$水中最多溶解$80g$，$t^{\circ}\mathrm{C}$时，$a$物质$80g$溶于$100g$水中所得溶液溶质质量分数为：$\frac{80g}{180g}×100\%=44.4\%$，故$B$错；
$C$、$a$的溶解度受温度影响较大，可用降温结晶的方法提纯$a$，故$C$正确；
$D$、$20^{\circ}\mathrm{C}$时，$a$物质饱和溶液中溶质质量分数一定等于$c$物质饱和溶液中溶质质量分数，没说是否饱和，不能判断大小，故$D$错。
故选：$C$。