C

$A$、硼带“石”字旁，属于固态非金属元素；氮带“气”字头，属于气态非金属元素，故选项说法正确。
$B$、元素是质子数（即核电荷数）相同的一类原子的总称，决定元素种类的是质子数（即核电荷数），两种元素的本质区别是质子数不同，故选项说法正确。
$C$、根据元素周期表中的一格可知，汉字下面的数字表示相对原子质量，该元素的相对原子质量为$14.01$，相对原子质量单位是“$1$”，不是“$g$”，故选项说法错误。
$D$、根据元素周期表中的一格可知，汉字下面的数字表示相对原子质量，硼元素和氮元素的相对原子质量分别是$10.81$、$14.01$，原子的相对原子质量与原子的质量成正比，则硼原子的质量比氮原子的质量小，故选项说法正确。
故选：$C$。