$\left(1\right)t_{1}^{\circ}\mathrm{C}$时，$a$物质的溶解度是$20g$，所以将$15g$固体$a$加入到$50g$水中，充分溶解后形成溶液的质量为$60g$；
$(2)t_{3}^{\circ}\mathrm{C}$时，$a$物质的溶解度最大，溶解度是$50g$，$c$物质的溶解度最小，恒温蒸发$20g$水时析出的晶体乙中最少，丙中最多，所以图$2$乙烧杯中的物质是$c$；丙烧杯中析出晶体的质量是$10g$；
$(3)t_{2}^{\circ}\mathrm{C}$时，$b$物质的溶解度是$25g$，所以饱和溶液的溶质质量分数为$\frac{25g}{125g}\times 100\%=20\%$，所以能配出$20\%$的$b$溶液。
故答案为：$\left(1\right)60$；
$(2)c$；$10$；
$(3)$能。

$\left(1\right)t_{1}^{\circ}\mathrm{C}$时，$a$物质的溶解度是$20g$，所以将$15g$固体$a$加入到$50g$水中，充分溶解后形成溶液的质量为$60g$；
$(2)t_{3}^{\circ}\mathrm{C}$时，$a$物质的溶解度最大，溶解度是$50g$，$c$物质的溶解度最小，恒温蒸发$20g$水时析出的晶体乙中最少，丙中最多，所以图$2$乙烧杯中的物质是$c$；丙烧杯中析出晶体的质量是$10g$；
$(3)t_{2}^{\circ}\mathrm{C}$时，$b$物质的溶解度是$25g$，所以饱和溶液的溶质质量分数为$\frac{25g}{125g}\times 100\%=20\%$，所以能配出$20\%$的$b$溶液。
故答案为：$\left(1\right)60$；
$(2)c$；$10$；
$(3)$能。