C

$A$、把溶剂蒸发掉一半，则溶液的质量$=60g-60g\times \left(1-10\%\right)\times \frac{1}{2}=33g$，所得溶液的溶质质量分数$=\frac{60g×10\%}{33g}\times 100\%\approx 18.2\%$；故$A$不正确；
$B$、加入$6gNaNO_{3}$晶体，所得溶液的溶质质量分数$=\frac{60g×10\%+6g}{60g+6g}\times 100\%\approx 18.2\%$；故$B$不正确；
$C$、把溶剂蒸发掉$30g$，则溶液的质量$=60g-30g=30g$，所得溶液的溶质质量分数$=\frac{60g×10\%}{30g}\times 100\%=20\%$；即蒸发溶剂质量为原溶液质量一半时，由于溶质质量不变而溶液质量减小一半，因此溶液的溶质质量分数增大一倍；故$C$正确；
$D$、加入$20\%$的$NaNO_{3}$溶液$30g$，则所得混合溶液的溶质质量分数$=\frac{60g×10\%+30g×20\%}{60g+30g}\times 100\%\approx 13.3\%$；故$D$不正确；
故选：$C$。