D

$A$、在$10^{\circ}\mathrm{C}$时加水使之充分溶解，残留固体的质量为$250g$，该实验在$40^{\circ}\mathrm{C}$下进行时，残留固体质量为$115g$，$10^{\circ}\mathrm{C}$时硝酸钾的溶解度为$20g$，$40^{\circ}\mathrm{C}$时硝酸钾的溶解度为
$65g$，每$100g$水中，最多再能溶解$45g$，从$10^{\circ}\mathrm{C}$到$40^{\circ}\mathrm{C}$，溶质溶解了$135g$，则水的质量是$\frac{135g}{45g}\times 100g=300g$；从$40^{\circ}\mathrm{C}$到$70^{\circ}\mathrm{C}$，每$100g$水中，最多再能溶解$65g$，$300g$水将多溶解溶质$=65g\times 3=195g$，但是从提供的数据可知，溶质只增加了$115g-20g=95g$，则$70^{\circ}\mathrm{C}$溶液不是饱和的，剩余$20g$为杂质；该硝酸钾样品为混合物，故选项说法错误。
$B$、$40^{\circ}\mathrm{C}$时溶于水的硝酸钾为$\frac{300g}{100g}\times 65g=195g$，故选项说法错误。
$C$、由$A$选项的分析，$70^{\circ}\mathrm{C}$时$KNO_{3}$溶液为不饱和溶液，故选项说法错误。
$D$、根据溶质溶质增加$100g$时，此温度下的溶解度是$x$，$\frac{300g}{100g}=\frac{100g}{x-65g}$，$x\approx 98.3g$，$55^{\circ}\mathrm{C}$硝酸钾的溶解度为$100g$，则在$55^{\circ}\mathrm{C}$时硝酸钾全部溶解，故选项说法正确。
故选：$D$。