（1）海水中含量最多的元素氧，氧元素符号为$O$。
$(2)$根据元素化合价的表示方法：确定出化合物中所要标出的元素的化合价，然后在其化学式该元素的上方用正负号和数字表示，正负号在前，数字在后，二氧化碳中碳元素显$+4$价，所以二氧化碳中碳元素的化合价表示为：$\stackrel{+4}{C}O_{2}$。
$(3)$氯化镁由显$+2$价的镁元素和显$-1$价的氯元素组成，根据化合价原则，氯化镁的化学式为$MgCl_{2}$。
$(4)$碳酸钙$(CaCO_{3})$中阴离子为碳酸根离子，碳酸根离子含有$1$个碳原子和$3$个氧原子且带有$2$个单位的负电荷，表示原子团中原子个数的数字写在原子团符号中元素符号的右下角，因此碳酸根的符号表示为$CO_{3}$；表示离子所带电荷数的数字写在离子符号的右上角，且数字在前（是“$1$”时省略），正负号在后，因此碳酸根离子表示为$C{O}_{3}^{2-}$。
故答案为：$\left(1\right)O$；
$(2)\stackrel{+4}{C}O_{2}$；
$(3)MgCl_{2}$；
$(4)C{O}_{3}^{2-}$。

（1）海水中含量最多的元素氧，氧元素符号为$O$。
$(2)$根据元素化合价的表示方法：确定出化合物中所要标出的元素的化合价，然后在其化学式该元素的上方用正负号和数字表示，正负号在前，数字在后，二氧化碳中碳元素显$+4$价，所以二氧化碳中碳元素的化合价表示为：$\stackrel{+4}{C}O_{2}$。
$(3)$氯化镁由显$+2$价的镁元素和显$-1$价的氯元素组成，根据化合价原则，氯化镁的化学式为$MgCl_{2}$。
$(4)$碳酸钙$(CaCO_{3})$中阴离子为碳酸根离子，碳酸根离子含有$1$个碳原子和$3$个氧原子且带有$2$个单位的负电荷，表示原子团中原子个数的数字写在原子团符号中元素符号的右下角，因此碳酸根的符号表示为$CO_{3}$；表示离子所带电荷数的数字写在离子符号的右上角，且数字在前（是“$1$”时省略），正负号在后，因此碳酸根离子表示为$C{O}_{3}^{2-}$。
故答案为：$\left(1\right)O$；
$(2)\stackrel{+4}{C}O_{2}$；
$(3)MgCl_{2}$；
$(4)C{O}_{3}^{2-}$。