$\left(1\right)20^{\circ}\mathrm{C}$时，将$10g$氯化钠完全溶于$40g$水中，所得溶液中溶质的质量分数是$\frac{10g}{10g+40g}\times 100\%=20\%$。
$(2)$设需加水的质量为$x$，$\left(10g+40g+x\right)\times 10\%=10g$，$x=50g$。
故答案为：
$(1)$所得溶液中溶质的质量分数是$20\%$；
$(2)$需加水$50g$。

$\left(1\right)20^{\circ}\mathrm{C}$时，将$10g$氯化钠完全溶于$40g$水中，所得溶液中溶质的质量分数是$\frac{10g}{10g+40g}\times 100\%=20\%$。
$(2)$设需加水的质量为$x$，$\left(10g+40g+x\right)\times 10\%=10g$，$x=50g$。
故答案为：
$(1)$所得溶液中溶质的质量分数是$20\%$；
$(2)$需加水$50g$。