A

$A$、醋酸钠的溶解度随温度升高而增大，降温能使$P$点醋酸钠溶液变为饱和溶液，故选项正确。
$B$、$40^{\circ}\mathrm{C}$时，醋酸钠的溶解度为$65.6g$，则$50g$水中加入$40g$醋酸钠，能够溶解$32.8g$，可得溶液的质量为$50g+32.8g=82.8g$，故选项不正确。
$C$、$40^{\circ}\mathrm{C}$时，饱和醋酸钠溶液的溶质质量分数是$\frac{65.6g}{100g+65.6g}×100\%=39.6\%$，故选项不正确。
$D$、将$A$点的饱和溶液升温至$60^{\circ}\mathrm{C}$，溶解度增大，但溶液和溶质的质量不变，溶质质量分数不变，故选项不正确。
故选：$A$。