$(1)$证明：如图$1$，

连接$OC$，
$\because PA$是$\odot O$的切线，
$\therefore \angle PAO=90^{\circ}$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$，
$\because OD$∥$BC$，
$\therefore \angle ADO=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\because OA=OC$，
$\therefore CD=AD$，
$\therefore AP=CP$，
$\because OP=OP$，
$\therefore \triangle PCO$≌$\triangle PAO\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle PCO=\angle PAO=90^{\circ}$，
$\because$点$C$在$\odot O$上，
$\therefore PC$是$\odot O$的切线；
$(2)$由（1）得：$\triangle PCO$≌$\triangle PAO$，
$\therefore \angle APO=\angle CPO$，
$\because \angle PAO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PAD+\angle DAO=90^{\circ}$，
$\because \angle PDA=\angle ADO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PAD+\angle APO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAO=\angle APO$，
$\therefore \angle DAO=\angle CPO$，
$\because \angle B=2\angle CPO$，
$\therefore \angle B=2\angle DAO$，
$\because \angle B+\angle DAO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle B=60^{\circ}$，$\angle DAO=30^{\circ}$，
$\therefore \angle APO=30^{\circ}$，
$\therefore PC=\frac{OA}{tan∠APO}=\frac{2}{tan30\;°}=2\sqrt{3}$，

$(1)$证明：如图$1$，

连接$OC$，
$\because PA$是$\odot O$的切线，
$\therefore \angle PAO=90^{\circ}$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$，
$\because OD$∥$BC$，
$\therefore \angle ADO=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\because OA=OC$，
$\therefore CD=AD$，
$\therefore AP=CP$，
$\because OP=OP$，
$\therefore \triangle PCO$≌$\triangle PAO\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle PCO=\angle PAO=90^{\circ}$，
$\because$点$C$在$\odot O$上，
$\therefore PC$是$\odot O$的切线；
$(2)$由（1）得：$\triangle PCO$≌$\triangle PAO$，
$\therefore \angle APO=\angle CPO$，
$\because \angle PAO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PAD+\angle DAO=90^{\circ}$，
$\because \angle PDA=\angle ADO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PAD+\angle APO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAO=\angle APO$，
$\therefore \angle DAO=\angle CPO$，
$\because \angle B=2\angle CPO$，
$\therefore \angle B=2\angle DAO$，
$\because \angle B+\angle DAO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle B=60^{\circ}$，$\angle DAO=30^{\circ}$，
$\therefore \angle APO=30^{\circ}$，
$\therefore PC=\frac{OA}{tan∠APO}=\frac{2}{tan30\;°}=2\sqrt{3}$，