$(1)$证明：如图，连接$CO$.

$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACO+\angle BCO=90^{\circ}$，
$\because OA=OC$，
$\therefore \angle ACO=\angle A$，
$\because \angle BCD=\angle A$，
$\therefore \angle ACO=\angle BCD$，
$\therefore \angle BCD+\angle BCO=90^{\circ}$，
即$\angle OCD=90^{\circ}$，
$\therefore OC\bot CD$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CD$是$\odot O$的切线；
$(2)$如图，过$C$作$CE\bot AB$于$E$，

$\because \angle D=30^{\circ}$，$\angle OCD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle COD=60^{\circ}$，$\angle AOC=\angle D+\angle OCD=120^{\circ}$，
$\because CE\bot AB$于$E$，
$\therefore CE=\frac{\sqrt{3}}{2}OD=3\sqrt{3}cm$，
$\therefore S_{△AOC}=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}cm^{2}$，$S_{扇形OAC}=\frac{120π•{6}^{2}}{360}=12\pi\ \ cm^{2}$，
$\therefore$圆中阴影部分的面积$=S_{扇形OAC}-S_{\triangle AOC}=(12\pi -9\sqrt{3})cm^{2}$.

$(1)$证明：如图，连接$CO$.

$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACO+\angle BCO=90^{\circ}$，
$\because OA=OC$，
$\therefore \angle ACO=\angle A$，
$\because \angle BCD=\angle A$，
$\therefore \angle ACO=\angle BCD$，
$\therefore \angle BCD+\angle BCO=90^{\circ}$，
即$\angle OCD=90^{\circ}$，
$\therefore OC\bot CD$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CD$是$\odot O$的切线；
$(2)$如图，过$C$作$CE\bot AB$于$E$，

$\because \angle D=30^{\circ}$，$\angle OCD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle COD=60^{\circ}$，$\angle AOC=\angle D+\angle OCD=120^{\circ}$，
$\because CE\bot AB$于$E$，
$\therefore CE=\frac{\sqrt{3}}{2}OD=3\sqrt{3}cm$，
$\therefore S_{△AOC}=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}cm^{2}$，$S_{扇形OAC}=\frac{120π•{6}^{2}}{360}=12\pi\ \ cm^{2}$，
$\therefore$圆中阴影部分的面积$=S_{扇形OAC}-S_{\triangle AOC}=(12\pi -9\sqrt{3})cm^{2}$.