A

连接$OD$，
$\because AC$是$\odot O$的切线，
$\therefore \angle ADO=90$，
$\because \angle C=90^{\circ}$，
$\therefore OD$∥$BC$，
$\because O$是斜边$AB$的中点，
$\therefore AO=OB$，
$\therefore AD=CD$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}BC$，
$\because \angle A=30^{\circ}$，$AB=4$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=2，∠B=60°$，$AC=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=2\sqrt{3}$，
$\therefore \angle AOD=60^{\circ}$，$OD=1$，
$\therefore AD=\sqrt{3}OD=\sqrt{3}$，$\angle DOF=120^{\circ}$，
$\therefore$图中阴影部分的面积$=\triangle ABC$的面积$-\triangle AOD$的面积$-$扇形$DOF$的面积$=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2-\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{3}-\frac{120π×{1}^{2}}{360}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{3}π$，
故选：$A$.