（1）如图1所示，取AB中点G，连接EG.
∵四边形ABCD是正方形，且点E、G分别是边BC、AB中点
$$\therefore\angle B=\angle ECD=90^{\circ},BG=BE=EC$$
∴△BEG 是等腰直角三角形,∠BGE=45°
$$\therefore\angle AGE=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$$
CF 是正方形的外角平分线，
$$\therefore\angle DCF=45^{\circ}$$
$$\therefore\angle ECF=\angle ECD+\angle DCF=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$$
$$\therefore\angle ECF=\angle AGE$$
2分
$$\because\angle AEF=90^{\circ}$$
$$\therefore\angle FEC+\angle AEB=90^{\circ}$$
$$\because\angle AEB+\angle EAG=90^{\circ}$$
$$\therefore\angle FEC=\angle EAG$$
图1
3分
在 $\triangle FEC$ 和 $\triangle EAG$ 中，

$$\left\{\begin{aligned}\angle FEC&=\angle EAG\\ EC&=AG\\ \angle ECF&=\angle AGE\end{aligned}\right.$$
$$\therefore\triangle FEC\cong\triangle EAG(ASA);$$
$$\therefore AE=EF$$

（2）如图2所示，在AH上截取BE=BH，则AH=EC.
由题可知，$\triangle BHE$ 为等腰直角三角形，$\angle BHE=45^{\circ}$
$\therefore \angle AHE = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$，同理，可得 $\triangle AHE \cong \triangle ECF$
$$\therefore HE=CF$$
∵四边形 ECFG 是平行四边形
$$\therefore EG=CF,\ EG\parallel CF$$
$$\therefore HE=EG$$
∵由题可知 $\angle ACD + \angle FCD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$
$$\therefore\angle EGC=\angle FCG=90^{\circ}$$
∴△EGC为等腰直角三角形
$$\therefore EC=\sqrt{2}GE$$
设 BE=x，则 BH=x.
在$\triangle BHE$中，$HE=\sqrt{HB^2+BE^2}=\sqrt{2}x$
$$\therefore EG=HE=\sqrt{2}x$$
$$\therefore EC=2x,$$
∵正方形 ABCD 边长为 9.
$$\therefore BE+EC=x+2x=9$$
$$\therefore x=3$$
$$\therefore EC=2\times3=6$$

图2

（3）如图3所示，连接AC，延长FH交AC于点I
$$\because FH\perp CD$$
$$\therefore\angle FHC=\angle IHC=90^{\circ}$$
∵由题可知，$\angle FCH=45^{\circ}$，$\angle ACH=45^{\circ}$
$$\therefore\angle ICF=\angle FCH+\angle ACH=90^{\circ}$$
即 $\triangle ICF$为直角三角形
∴在Rt△HIC中， $\angle HIC=90^\circ - \angle HCl=45^\circ$
同理， $\angle HFC=45^{\circ}$
∴△HIC、△HFC 都为等腰直角三角形
$$\therefore H1=H C,\ H F=H C$$
$$\therefore\mathrm{HC}\!=\!\frac{1}{2}\mathrm{\Omega}\mathrm{(HI+HF)}\!=\!\frac{1}{2}IF$$
∴H为IF边中点
∵M为BF中点
∴HM为 $\triangle FIB$中位线

$$\therefore HM\frac{1}{2}BI$$
图3
$^{*}$当点 I 为 AC 中点时，BI 取得最小值，由题可知，
此时AC=9$\sqrt{2}$
$$\therefore B1=\frac{1}{2}AC=\frac{9\sqrt{2}}{2}$$
$$\therefore\mathrm{HM}=\frac{1}{2}BI=\frac{1}{2}\times\frac{9\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$$

（1）如图1所示，取AB中点G，连接EG.
∵四边形ABCD是正方形，且点E、G分别是边BC、AB中点
$$\therefore\angle B=\angle ECD=90^{\circ},BG=BE=EC$$
∴△BEG 是等腰直角三角形,∠BGE=45°
$$\therefore\angle AGE=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$$
CF 是正方形的外角平分线，
$$\therefore\angle DCF=45^{\circ}$$
$$\therefore\angle ECF=\angle ECD+\angle DCF=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$$
$$\therefore\angle ECF=\angle AGE$$
2分
$$\because\angle AEF=90^{\circ}$$
$$\therefore\angle FEC+\angle AEB=90^{\circ}$$
$$\because\angle AEB+\angle EAG=90^{\circ}$$
$$\therefore\angle FEC=\angle EAG$$
图1
3分
在 $\triangle FEC$ 和 $\triangle EAG$ 中，

$$\left\{\begin{aligned}\angle FEC&=\angle EAG\\ EC&=AG\\ \angle ECF&=\angle AGE\end{aligned}\right.$$
$$\therefore\triangle FEC\cong\triangle EAG(ASA);$$
$$\therefore AE=EF$$

（2）如图2所示，在AH上截取BE=BH，则AH=EC.
由题可知，$\triangle BHE$ 为等腰直角三角形，$\angle BHE=45^{\circ}$
$\therefore \angle AHE = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$，同理，可得 $\triangle AHE \cong \triangle ECF$
$$\therefore HE=CF$$
∵四边形 ECFG 是平行四边形
$$\therefore EG=CF,\ EG\parallel CF$$
$$\therefore HE=EG$$
∵由题可知 $\angle ACD + \angle FCD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$
$$\therefore\angle EGC=\angle FCG=90^{\circ}$$
∴△EGC为等腰直角三角形
$$\therefore EC=\sqrt{2}GE$$
设 BE=x，则 BH=x.
在$\triangle BHE$中，$HE=\sqrt{HB^2+BE^2}=\sqrt{2}x$
$$\therefore EG=HE=\sqrt{2}x$$
$$\therefore EC=2x,$$
∵正方形 ABCD 边长为 9.
$$\therefore BE+EC=x+2x=9$$
$$\therefore x=3$$
$$\therefore EC=2\times3=6$$

图2

（3）如图3所示，连接AC，延长FH交AC于点I
$$\because FH\perp CD$$
$$\therefore\angle FHC=\angle IHC=90^{\circ}$$
∵由题可知，$\angle FCH=45^{\circ}$，$\angle ACH=45^{\circ}$
$$\therefore\angle ICF=\angle FCH+\angle ACH=90^{\circ}$$
即 $\triangle ICF$为直角三角形
∴在Rt△HIC中， $\angle HIC=90^\circ - \angle HCl=45^\circ$
同理， $\angle HFC=45^{\circ}$
∴△HIC、△HFC 都为等腰直角三角形
$$\therefore H1=H C,\ H F=H C$$
$$\therefore\mathrm{HC}\!=\!\frac{1}{2}\mathrm{\Omega}\mathrm{(HI+HF)}\!=\!\frac{1}{2}IF$$
∴H为IF边中点
∵M为BF中点
∴HM为 $\triangle FIB$中位线

$$\therefore HM\frac{1}{2}BI$$
图3
$^{*}$当点 I 为 AC 中点时，BI 取得最小值，由题可知，
此时AC=9$\sqrt{2}$
$$\therefore B1=\frac{1}{2}AC=\frac{9\sqrt{2}}{2}$$
$$\therefore\mathrm{HM}=\frac{1}{2}BI=\frac{1}{2}\times\frac{9\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$$