题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
八年级数学解答题中等
题目
在平面直角坐标系中，点 P(m,n)P(m,n)在直线 l:y=kx+bl:y=kx+b（ k≠0k\neq0）上，若点 P′P'的坐标为 (km,n+b)(km,n+b)，则称点 P′P'为点P关于直线 ll的“函数点”.
例如：点 A(−1,1)A(-1,1) 在直线 l: y=2x+3 上，点 A(−1,1)A(-1,1) 关于直线 l 的“函数点”为 A′(−1×2,1+3)A'(-1\times2,1+3)，即 A′(−2,4)A'(-2,4).
如图，直线 l1l_{1}: y=12x+2y=\frac{1}{2}x+2与直线 l2l_{2}: y=−x+1y=-x+1相交于点 CC，
（1）分别求出点 C 关于直线 l1l_{1} 的“函变点”的坐标___，点 C 关于直线 l2l_{2} 的“函变点”的坐标___；
（2）点 D(m,0)D(m, 0) 在 x 轴上，过点 D 作 x 轴的垂线，与 l1l_{1} 相交于点 M，与 l2l_{2} 相交于点 N，设点 M 关于直线 l1l_{1} 的“函变点”为点 M′M'，设点 N 关于直线 l2l_{2} 的“函变点”为点 N′N'，求此时点 M′M'、 N′N' 的坐标；
（3）在（2）的条件下，当 m=2 时，在平面直角坐标系中是否存在点 E，使得以 D、E、M′、N′ 为顶点的四边形是平行四边形，计算此时点 E 的坐标.
Image
第22题图
Image
第22题备用图
知识点：一次函数、平行四边形的性质章节：第5章 平行四边形 / 5.1 平行四边形的性质

答案与解析

答案

(1) (−13,113)\left(-\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right)、 (23,83)\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right);
联立方程组得 {y=12x+2,y=−x+1\left\{\begin{aligned}y &= \frac{1}{2}x + 2, \\ y &= -x + 1\end{aligned}\right.，解得 {x=−23,y=53\left\{\begin{aligned}x &= -\frac{2}{3}, \\ y &= \frac{5}{3}\end{aligned}\right.
∴点 C 的坐标为 (−23,53)\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right);
点 C 关于直线 l1l_{1} 的“函变点”的坐标为 (−23×12,53+2)\left(-\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}, \frac{5}{3} + 2\right)，即 (−13,113)\left(-\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right);
点 C 关于直线 l2l_{2} 的“函变点”的坐标为 [−23×(−1),53+1]\left[-\frac{2}{3} \times (-1), \frac{5}{3} + 1\right]，即 (2833)\left(\begin{array}{cc}2 & 8 \\ 3 & 3\end{array}\right);

（2）由题意得，点 M，N 的横坐标均为 m，且 M，N 分别位于直线与 I1,I2I_{1}, I_{2} 上，
(2) 由题意得，点 MM， NN 的横坐标均为 mm，且 MM， NN 分别位于直线与 l1l_1， l2l_2 上。
分别代入直线 l1l_1， l2l_2 解析式 y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2、 y=−x+1y = -x + 1 中有
点 MM 的坐标为 (m,12m+2)\left(m, \frac{1}{2}m + 2\right)，点 NN 的坐标为 (m,−m+1)(m,-m+1)，……5 分
则点 MM 关于直线 l1l_1 的“函数点” M′M' 的坐标为 (−m×12,12m+2+2)\left(-m \times \frac{1}{2}, \frac{1}{2}m + 2 + 2\right)，即 (12m,12m+4)\left(\frac{1}{2}m, \frac{1}{2}m + 4\right)；
点 NN 关于直线 l2l_2 的“函数点” N′N' 的坐标为 [m×(−1),−m+1+1]\left[m \times (-1), -m + 1 + 1\right]，即 N′(−m,−m+2)N'(-m, -m + 2)；
∴M′(12m,12m+4)\therefore M' \left( \frac{1}{2}m, \frac{1}{2}m + 4 \right)， N′(−m,−m+2)N'(-m, -m + 2)，……7 分

（3）存在，由（2）得当m=2时，则 M′(1,5)M'(1,5)， N′(−2,0)N'(-2,0)，……8分
如图1，
在平面直角坐标系中，分别过点 D、 M′M'、 N′N' 作 △DM′N′\triangle DM'N' 三条边 M′N′M'N'、 N′DN'D、 M′DM'D 的平行线 m、l、k 如图 2，
Image
图1
Image
图2
Image
图3
①设直线 l、k 交于点 E，如图3
∵l∥N′D,k∥M′D\because l \parallel N'D, k \parallel M'D
∴ 四边形 EM′ DN′ 为平行四边形
∴EM′=DN′\therefore EM^{\prime}=DN^{\prime}
∵M(1,5),N′(−2,0),\because M(1,5), N^{\prime}(-2,0), 且 D(2,0)D(2,0)
∴EM′=DN′=4\therefore EM' = DN' = 4，点 E 的坐标为 (−3,5)(-3, 5)
E′(5,5)、E′′(−2,−10)E^{\prime}(5,5)、E^{\prime\prime}(-2,-10)
E 的可能值为 (−3,5)(-3,5)、 (5,5)(5,5)、 (−2,−10)(-2,-10)

解析

(1) (−13,113)\left(-\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right)、 (23,83)\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right);
联立方程组得 {y=12x+2,y=−x+1\left\{\begin{aligned}y &= \frac{1}{2}x + 2, \\ y &= -x + 1\end{aligned}\right.，解得 {x=−23,y=53\left\{\begin{aligned}x &= -\frac{2}{3}, \\ y &= \frac{5}{3}\end{aligned}\right.
∴点 C 的坐标为 (−23,53)\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right);
点 C 关于直线 l1l_{1} 的“函变点”的坐标为 (−23×12,53+2)\left(-\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}, \frac{5}{3} + 2\right)，即 (−13,113)\left(-\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right);
点 C 关于直线 l2l_{2} 的“函变点”的坐标为 [−23×(−1),53+1]\left[-\frac{2}{3} \times (-1), \frac{5}{3} + 1\right]，即 (2833)\left(\begin{array}{cc}2 & 8 \\ 3 & 3\end{array}\right);

（2）由题意得，点 M，N 的横坐标均为 m，且 M，N 分别位于直线与 I1,I2I_{1}, I_{2} 上，
(2) 由题意得，点 MM， NN 的横坐标均为 mm，且 MM， NN 分别位于直线与 l1l_1， l2l_2 上。
分别代入直线 l1l_1， l2l_2 解析式 y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2、 y=−x+1y = -x + 1 中有
点 MM 的坐标为 (m,12m+2)\left(m, \frac{1}{2}m + 2\right)，点 NN 的坐标为 (m,−m+1)(m,-m+1)，……5 分
则点 MM 关于直线 l1l_1 的“函数点” M′M' 的坐标为 (−m×12,12m+2+2)\left(-m \times \frac{1}{2}, \frac{1}{2}m + 2 + 2\right)，即 (12m,12m+4)\left(\frac{1}{2}m, \frac{1}{2}m + 4\right)；
点 NN 关于直线 l2l_2 的“函数点” N′N' 的坐标为 [m×(−1),−m+1+1]\left[m \times (-1), -m + 1 + 1\right]，即 N′(−m,−m+2)N'(-m, -m + 2)；
∴M′(12m,12m+4)\therefore M' \left( \frac{1}{2}m, \frac{1}{2}m + 4 \right)， N′(−m,−m+2)N'(-m, -m + 2)，……7 分

（3）存在，由（2）得当m=2时，则 M′(1,5)M'(1,5)， N′(−2,0)N'(-2,0)，……8分
如图1，
在平面直角坐标系中，分别过点 D、 M′M'、 N′N' 作 △DM′N′\triangle DM'N' 三条边 M′N′M'N'、 N′DN'D、 M′DM'D 的平行线 m、l、k 如图 2，
Image
图1
Image
图2
Image
图3
①设直线 l、k 交于点 E，如图3
∵l∥N′D,k∥M′D\because l \parallel N'D, k \parallel M'D
∴ 四边形 EM′ DN′ 为平行四边形
∴EM′=DN′\therefore EM^{\prime}=DN^{\prime}
∵M(1,5),N′(−2,0),\because M(1,5), N^{\prime}(-2,0), 且 D(2,0)D(2,0)
∴EM′=DN′=4\therefore EM' = DN' = 4，点 E 的坐标为 (−3,5)(-3, 5)
E′(5,5)、E′′(−2,−10)E^{\prime}(5,5)、E^{\prime\prime}(-2,-10)
E 的可能值为 (−3,5)(-3,5)、 (5,5)(5,5)、 (−2,−10)(-2,-10)

AI 自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →