$\left(1\right)y=-x^{2}+2x+3=-\left(x-1\right)^{2}+4$；
$(2)$当$x=-1$时，$y=-x^{2}+2x+3=0$；
当$x=0$时，$y=-x^{2}+2x+3=3$；
当$x=1$时，$y=-x^{2}+2x+3=4$；
当$x=2$时，$y=-x^{2}+2x+3=3$；
当$x=3$时，$y=-x^{2}+2x+3=0$；
故答案为：$0$，$3$，$4$，$3$，$0$；
如图，

$(3)$①当$y \gt 0$，$x$的取值范围为$-1 \lt x \lt 3$；
故答案为：$-1 \lt x \lt 3$；
②当$x=-1$时，$y=0$；
当$x=2$时，$y=3$，
当$x=1$时，$y$有最大值$4$，
当$-1 \lt x \lt 2$时，$y$的取值范围为$0 \lt y\leqslant 4$；
故答案为：$0 \lt y\leqslant 4$；
③方程$-x^{2}+2x-m=-3$变形为方程$-x^{2}+2x+3=m$，
当抛物线$y=-x^{2}+2x+3$与直线$y=m$有交点时，方程方程$-x^{2}+2x-m=-3$有实根，
而抛物线的顶点的纵坐标为$4$，
所以$m\leqslant 4$，
即$m$的最大值为$4$.

$\left(1\right)y=-x^{2}+2x+3=-\left(x-1\right)^{2}+4$；
$(2)$当$x=-1$时，$y=-x^{2}+2x+3=0$；
当$x=0$时，$y=-x^{2}+2x+3=3$；
当$x=1$时，$y=-x^{2}+2x+3=4$；
当$x=2$时，$y=-x^{2}+2x+3=3$；
当$x=3$时，$y=-x^{2}+2x+3=0$；
故答案为：$0$，$3$，$4$，$3$，$0$；
如图，

$(3)$①当$y \gt 0$，$x$的取值范围为$-1 \lt x \lt 3$；
故答案为：$-1 \lt x \lt 3$；
②当$x=-1$时，$y=0$；
当$x=2$时，$y=3$，
当$x=1$时，$y$有最大值$4$，
当$-1 \lt x \lt 2$时，$y$的取值范围为$0 \lt y\leqslant 4$；
故答案为：$0 \lt y\leqslant 4$；
③方程$-x^{2}+2x-m=-3$变形为方程$-x^{2}+2x+3=m$，
当抛物线$y=-x^{2}+2x+3$与直线$y=m$有交点时，方程方程$-x^{2}+2x-m=-3$有实根，
而抛物线的顶点的纵坐标为$4$，
所以$m\leqslant 4$，
即$m$的最大值为$4$.