$\left(1\right)y=x^{2}+2x-3$
$=x^{2}+2x+1-4$
$=\left(x+1\right)^{2}-4$；
$(2)$由题意，根据（1）可知，该函数的顶点是$\left(-1,-4\right)$；
当$x=0$时，$y=3$；
当$y=0$时，即$x^{2}+2x-3=0$，解得$x=1$或$x=-3$，
$\therefore$该函数图象经过点$\left(0,3\right)$，$\left(1,0\right)$，$\left(-3,0\right)$；
$\therefore$二次函数$y=x^{2}+2x-3$的图象如图所示：
.

$\left(1\right)y=x^{2}+2x-3$
$=x^{2}+2x+1-4$
$=\left(x+1\right)^{2}-4$；
$(2)$由题意，根据（1）可知，该函数的顶点是$\left(-1,-4\right)$；
当$x=0$时，$y=3$；
当$y=0$时，即$x^{2}+2x-3=0$，解得$x=1$或$x=-3$，
$\therefore$该函数图象经过点$\left(0,3\right)$，$\left(1,0\right)$，$\left(-3,0\right)$；
$\therefore$二次函数$y=x^{2}+2x-3$的图象如图所示：
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