在解分式方程时,我们通常会通过去分母来简化方程,这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母.然而,在这个过程中,我们无法确定所乘的最简公分母是否为$0$.这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大.如果去分母后得到的整式方程的某个解,使得原分式方程的最简公分母为$0$,那么这个解就是增根.虽然增根满足整式方程,但它并不满足原分式方程.
$(1)$解分式方程$\frac{1-x}{x-2}+2=\frac{1}{2-x}$时产生了增根,这个增根是______；
$(2)$若关于$x$的方程$\frac{x-m}{x-2}-\frac{5}{x}=1$有增根,求$m$的值；
$(3)$已知整数$m$使关于$x$的方程$\frac{mx}{1-x}-\frac{1}{x-1}=3$有整数解,求$m$的值.