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八年级数学填空题一般
题目
在解分式方程时,我们通常会通过去分母来简化方程,这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母.然而,在这个过程中,我们无法确定所乘的最简公分母是否为00.这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大.如果去分母后得到的整式方程的某个解,使得原分式方程的最简公分母为00,那么这个解就是增根.虽然增根满足整式方程,但它并不满足原分式方程.
(1)(1)解分式方程1−xx−2+2=12−x\frac{1-x}{x-2}+2=\frac{1}{2-x}时产生了增根,这个增根是______；
(2)(2)若关于xx的方程x−mx−2−5x=1\frac{x-m}{x-2}-\frac{5}{x}=1有增根,求mm的值；
(3)(3)已知整数mm使关于xx的方程mx1−x−1x−1=3\frac{mx}{1-x}-\frac{1}{x-1}=3有整数解,求mm的值.
知识点：通分、分式方程的增根章节：第十二章 分式和分式方程 / 12.4 分式方程

答案与解析

答案

（1）解分式方程1−xx−2+2=12−x\frac{1-x}{x-2}+2=\frac{1}{2-x}时产生了增根，
则x−2=0x-2=0，解得x=2x=2.
故答案为：x=2x=2.
(2)(2)去分母，得：x(x−m)−5(x−2)=x(x−2)x\left(x-m\right)-5\left(x-2\right)=x\left(x-2\right)，
由分式方程有增根，得到x−2=0x-2=0或x=0x=0，即x=2x=2或x=0x=0，
把x=2x=2代入整式方程，可得：2(2−m)−5×(2−2)=2×(2−2)2\left(2-m\right)-5\times \left(2-2\right)=2\times \left(2-2\right)，解得m=2m=2；
把x=0x=0代入整式方程，可得：0×(0−m)−5×(0−2)=0×(0−2)0\times \left(0-m\right)-5\times \left(0-2\right)=0\times \left(0-2\right)，mm无解；
综上，可得若关于xx的方程x−mx−2−5x=1\frac{x-m}{x-2}-\frac{5}{x}=1有增根，mm的值为22.
(3)∵mx1−x−1x−1=3(3)\because \frac{mx}{1-x}-\frac{1}{x-1}=3，
∴mx+1=3(1−x)\therefore mx+1=3\left(1-x\right)，
∴(m+3)x=2\therefore \left(m+3\right)x=2，
解得x=2m+3x=\frac{2}{m+3}，
∵1−x≠0\because 1-x\neq 0，∴x≠1\therefore x\neq 1，即2m+3≠1\frac{2}{m+3}\neq 1，
解得m+3≠2m+3\neq 2，m≠−1m\neq -1，
∵\because关于xx的方程mx1−x−1x−1=3\frac{mx}{1-x}-\frac{1}{x-1}=3有整数解，
∴m+3=−2\therefore m+3=-2，−1-1，11，
解得m=−5m=-5，−4-4或−2-2.

解析

（1）解分式方程1−xx−2+2=12−x\frac{1-x}{x-2}+2=\frac{1}{2-x}时产生了增根，
则x−2=0x-2=0，解得x=2x=2.
故答案为：x=2x=2.
(2)(2)去分母，得：x(x−m)−5(x−2)=x(x−2)x\left(x-m\right)-5\left(x-2\right)=x\left(x-2\right)，
由分式方程有增根，得到x−2=0x-2=0或x=0x=0，即x=2x=2或x=0x=0，
把x=2x=2代入整式方程，可得：2(2−m)−5×(2−2)=2×(2−2)2\left(2-m\right)-5\times \left(2-2\right)=2\times \left(2-2\right)，解得m=2m=2；
把x=0x=0代入整式方程，可得：0×(0−m)−5×(0−2)=0×(0−2)0\times \left(0-m\right)-5\times \left(0-2\right)=0\times \left(0-2\right)，mm无解；
综上，可得若关于xx的方程x−mx−2−5x=1\frac{x-m}{x-2}-\frac{5}{x}=1有增根，mm的值为22.
(3)∵mx1−x−1x−1=3(3)\because \frac{mx}{1-x}-\frac{1}{x-1}=3，
∴mx+1=3(1−x)\therefore mx+1=3\left(1-x\right)，
∴(m+3)x=2\therefore \left(m+3\right)x=2，
解得x=2m+3x=\frac{2}{m+3}，
∵1−x≠0\because 1-x\neq 0，∴x≠1\therefore x\neq 1，即2m+3≠1\frac{2}{m+3}\neq 1，
解得m+3≠2m+3\neq 2，m≠−1m\neq -1，
∵\because关于xx的方程mx1−x−1x−1=3\frac{mx}{1-x}-\frac{1}{x-1}=3有整数解，
∴m+3=−2\therefore m+3=-2，−1-1，11，
解得m=−5m=-5，−4-4或−2-2.

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