$\left(1\right)\because AC=BC=6$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore AB=6\sqrt{2}$，
$\because DF$∥$AB$，$CD=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore DF=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$，$(1分)$
$\therefore DE=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$(1分)$
在$Rt\triangle DEF$中，$cot∠DEF=\frac{DE}{DF}=\frac{{\frac{3}{2}\sqrt{2}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$；$(2分)$

$(2)$过点$E$作$EH\bot AC$于点$H$，设$AE=x$，
$\because BC\bot AC$，
$\therefore EH$∥$BC$，
$\therefore \angle AEH=\angle B$，
$\because \angle B=\angle A$，
$\therefore \angle AEH=\angle A$，$HE=HA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，$(1分)$
$\therefore HD=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
又可证$\triangle HDE$∽$\triangle CFD$，
$\therefore \frac{HD}{CF}=\frac{HE}{DC}$，$(1分)$
$\therefore \frac{{3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{6-y}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{3}$，
$\therefore y=-\frac{{9\sqrt{2}}}{x}+9(\sqrt{2}≤x≤3\sqrt{2})$；$(2分)$

$(3)\because CE≥\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}＞3$，$CD=3$，
$\therefore CE \gt CD$，
$\therefore$若$\triangle DCE$为等腰三角形，只有$DC=DE$或$ED=EC$两种可能.$(1分)$
当$DC=DE$时，点$F$在边$BC$上，过点$D$作$DG\bot AE$于点$G(如图①)$
可得：$AE=2AG=3\sqrt{2}$，即点$E$在$AB$中点，
$\therefore$此时$F$与$C$重合，
$\therefore BF=6$，$(2分)$
当$ED=EC$时，点$F$在$BC$的延长线上，
过点$E$作$EM\bot CD$于点$M$，$(如图②)$
可证：
$\because EM\bot CD$，
$\therefore \triangle DME$是直角三角形，
$\because DE\bot DF$，
$\therefore \angle EDM+\angle FDC=90^{\circ}$，
$\because \angle FDC+\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore \angle F=\angle EDM$.
$\therefore \triangle DFC$∽$\triangle DEM$，
$\therefore \frac{CF}{DM}=\frac{CD}{EM}$，
$\therefore \frac{CF}{{\frac{3}{2}}}=\frac{3}{{3+\frac{3}{2}}}$，
$\therefore CF=1$，$\therefore BF=7$，$(2分)$
综上所述，$BF$为$6$或$7$.

$\left(1\right)\because AC=BC=6$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore AB=6\sqrt{2}$，
$\because DF$∥$AB$，$CD=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore DF=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$，$(1分)$
$\therefore DE=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$(1分)$
在$Rt\triangle DEF$中，$cot∠DEF=\frac{DE}{DF}=\frac{{\frac{3}{2}\sqrt{2}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$；$(2分)$

$(2)$过点$E$作$EH\bot AC$于点$H$，设$AE=x$，
$\because BC\bot AC$，
$\therefore EH$∥$BC$，
$\therefore \angle AEH=\angle B$，
$\because \angle B=\angle A$，
$\therefore \angle AEH=\angle A$，$HE=HA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，$(1分)$
$\therefore HD=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
又可证$\triangle HDE$∽$\triangle CFD$，
$\therefore \frac{HD}{CF}=\frac{HE}{DC}$，$(1分)$
$\therefore \frac{{3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{6-y}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{3}$，
$\therefore y=-\frac{{9\sqrt{2}}}{x}+9(\sqrt{2}≤x≤3\sqrt{2})$；$(2分)$

$(3)\because CE≥\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}＞3$，$CD=3$，
$\therefore CE \gt CD$，
$\therefore$若$\triangle DCE$为等腰三角形，只有$DC=DE$或$ED=EC$两种可能.$(1分)$
当$DC=DE$时，点$F$在边$BC$上，过点$D$作$DG\bot AE$于点$G(如图①)$
可得：$AE=2AG=3\sqrt{2}$，即点$E$在$AB$中点，
$\therefore$此时$F$与$C$重合，
$\therefore BF=6$，$(2分)$
当$ED=EC$时，点$F$在$BC$的延长线上，
过点$E$作$EM\bot CD$于点$M$，$(如图②)$
可证：
$\because EM\bot CD$，
$\therefore \triangle DME$是直角三角形，
$\because DE\bot DF$，
$\therefore \angle EDM+\angle FDC=90^{\circ}$，
$\because \angle FDC+\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore \angle F=\angle EDM$.
$\therefore \triangle DFC$∽$\triangle DEM$，
$\therefore \frac{CF}{DM}=\frac{CD}{EM}$，
$\therefore \frac{CF}{{\frac{3}{2}}}=\frac{3}{{3+\frac{3}{2}}}$，
$\therefore CF=1$，$\therefore BF=7$，$(2分)$
综上所述，$BF$为$6$或$7$.