在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,将线段$AC$绕点$A$逆时针旋转至$AD$,连接$CD$,$\angle BAD$的角平分线$AE$与$DC$的延长线交于点$E$,与$BC$交于点$F$.
$(1)$如图$1$,若$\angle BAC=90^{\circ}$,$\angle CAD=60^{\circ}$,$AD=4$,求$AE$的长；
$(2)$如图$2$,若$\angle BAC=60^{\circ}$,过点$B$作$BG$∥$DE$交$AC$于点$G$,交$AE$于点$H$,求证:$AH=EF+HG$；
$(3)$如图$3$,若$\angle BAC=120^{\circ}$,连接$BD$,当$AE=BD$时,直接写出$\frac{BC}{CD}$的值.