九年级数学解答题全等三角形的判定、垂径定理、圆周角定理I、锐角三角函数的定义｜试题答案与解析

九年级数学解答题一般

题目

如图,已知

AB

为

\odot O

的直径,点

D

为

\odot O

上一点,连接

AD

BD

OC\bot BD

于点

E

、且

\angle BOC=\angle BDC

(1)

求证:

DC

是

\odot O

的切线；

(2)

若

\angle A=30^{\circ}

AD=6

,求图中阴影部分的面积.

知识点：全等三角形的判定、垂径定理、圆周角定理I、锐角三角函数的定义章节：第25章锐角的三角比 / 第1节锐角的三角比 / 25.1 锐角的三角比的意义

答案与解析

答案

$(1)$ 证明：如图，连接 $OD$ .

$\because OC\bot BD$ ，

$\therefore \angle BEO=90^{\circ}$ ，

$\therefore \angle BOC+\angle OBE=90^{\circ}$ .

$\because OB=OD$ ，

$\therefore \angle OBD=\angle ODB$ ，

$\because \angle BOC=\angle BDC$ ，

$\therefore \angle ODB+\angle BDC=90^{\circ}$ ，

$\therefore CD\bot OD$ .

$\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径，

$\therefore DC$ 是 $\odot O$ 的切线.

$(2)$ $\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，

$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$ .

在 $Rt\triangle ABD$ 中， $\angle A=30^{\circ}$ .

$\therefore \angle BOD=2\angle A=60^{\circ}$ ，

$\because OB=OD$ ，

$\therefore \triangle OBD$ 是等边三角形，

$\therefore OB=BD$ ，

$\therefore AB=2OB=2BD$ .

由勾股定理得 $AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$ ，即 $6^{2}+BD^{2}=\left(2BD\right)^{2}$ ，

解得 $BD=2\sqrt{3}$ .

$\because OC\bot BD$ ，

$\therefore E$ 是 $BD$ 的中点.

$\because O$ 是 $AB$ 的中点，

$\therefore OE$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线，

$\therefore OE=\frac{1}{2}AD=3$ .

$\because S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}BD\cdot OE=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 3=3\sqrt{3}$ ， $S_{扇形OBD}=\frac{60π\color{red}{•}(2\sqrt{3})^{2}}{360}=2\pi$ ，

$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBD}-S_{\triangle BOD}=2\pi -3\sqrt{3}$ .

解析

$(1)$ 证明：如图，连接 $OD$ .

$\because OC\bot BD$ ，

$\therefore \angle BEO=90^{\circ}$ ，

$\therefore \angle BOC+\angle OBE=90^{\circ}$ .

$\because OB=OD$ ，

$\therefore \angle OBD=\angle ODB$ ，

$\because \angle BOC=\angle BDC$ ，

$\therefore \angle ODB+\angle BDC=90^{\circ}$ ，

$\therefore CD\bot OD$ .

$\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径，

$\therefore DC$ 是 $\odot O$ 的切线.

$(2)$ $\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，

$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$ .

在 $Rt\triangle ABD$ 中， $\angle A=30^{\circ}$ .

$\therefore \angle BOD=2\angle A=60^{\circ}$ ，

$\because OB=OD$ ，

$\therefore \triangle OBD$ 是等边三角形，

$\therefore OB=BD$ ，

$\therefore AB=2OB=2BD$ .

由勾股定理得 $AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$ ，即 $6^{2}+BD^{2}=\left(2BD\right)^{2}$ ，

解得 $BD=2\sqrt{3}$ .

$\because OC\bot BD$ ，

$\therefore E$ 是 $BD$ 的中点.

$\because O$ 是 $AB$ 的中点，

$\therefore OE$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线，

$\therefore OE=\frac{1}{2}AD=3$ .

$\because S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}BD\cdot OE=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 3=3\sqrt{3}$ ， $S_{扇形OBD}=\frac{60π\color{red}{•}(2\sqrt{3})^{2}}{360}=2\pi$ ，

$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBD}-S_{\triangle BOD}=2\pi -3\sqrt{3}$ .

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