如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$A\left(-1,2\right)$、$B\left(2,2\right)$、$C\left(3,-2\right)$,点$P$是抛物线$y=ax^{2}+bx+c$在$x$轴上方图象上一点,动直线$y=-\frac{1}{2}x+t$分别交$x$轴、$y$轴于点$D$、$E$.
$(1)$求此抛物线的解析式；
$(2)$当以$A$、$C$、$P$为顶点的三角形面积为$6$时,求出$P$点的坐标；
$(3)$当$t \lt 0$,点$Q$在抛物线$y=ax^{2}+bx+c$上运动时,是否存在点$Q$,使得以$D$为直角顶点的$\triangle QDE$与$\triangle DOE$相似,若存在,请求出此时$t$的值；若不存在,请说明理由.