（1）因为一次函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的图象由函数$y=2x$的图象平移得到，
所以$k=2$.
将点$\left(-1,3\right)$的坐标代入$y=2x+b$得，
$-2+b=3$，
解得$b=5$，
所以一次函数的解析式为$y=2x+5$.
$(2)$将$x=0$代入$y=2x+5$得，
$y=5$，
所以点$B$的坐标为$\left(0,5\right)$.
将$y=0$代入$y=2x+5$得，
$x=-\frac{5}{2}$，
所以点$A$的坐标为（$-\frac{5}{2}，0)$.
$(3)$因为$\triangle OAP$的面积为$5$，
所以$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×|y|=5$，
解得$y=\pm 4$.
当$y=4$时，
$2x+5=4$，
解得$x=-\frac{1}{2}$，
所以点$P$的坐标为（$-\frac{1}{2}，4)$.
当$y=-4$时，
$2x+5=-4$，
解得$x=-\frac{9}{2}$，
所以点$P$的坐标为（$-\frac{9}{2}，-4)$，
综上所述，点$P$的坐标为（$-\frac{1}{2}，4$）或（$-\frac{9}{2}，-4)$.

（1）因为一次函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的图象由函数$y=2x$的图象平移得到，
所以$k=2$.
将点$\left(-1,3\right)$的坐标代入$y=2x+b$得，
$-2+b=3$，
解得$b=5$，
所以一次函数的解析式为$y=2x+5$.
$(2)$将$x=0$代入$y=2x+5$得，
$y=5$，
所以点$B$的坐标为$\left(0,5\right)$.
将$y=0$代入$y=2x+5$得，
$x=-\frac{5}{2}$，
所以点$A$的坐标为（$-\frac{5}{2}，0)$.
$(3)$因为$\triangle OAP$的面积为$5$，
所以$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×|y|=5$，
解得$y=\pm 4$.
当$y=4$时，
$2x+5=4$，
解得$x=-\frac{1}{2}$，
所以点$P$的坐标为（$-\frac{1}{2}，4)$.
当$y=-4$时，
$2x+5=-4$，
解得$x=-\frac{9}{2}$，
所以点$P$的坐标为（$-\frac{9}{2}，-4)$，
综上所述，点$P$的坐标为（$-\frac{1}{2}，4$）或（$-\frac{9}{2}，-4)$.