题目操作与研究:如图,
△ABC被平行于
CD的光线照射,
CD⊥AB于
D,
AB在投影面上.
(1)指出图中线段
AC的投影是______,线段
BC的投影是______.
(2)问题情景:如图
1,
Rt△ABC中,
∠ACB=90∘,
CD⊥AB,我们可以利用
△ABC与
△ACD相似证明
AC2=AD×AB,这个结论我们称之为射影定理,请证明这个定理.
(3)拓展运用:如图
2,正方形
ABCD的边长为
15,点
O是对角线
AC、
BD的交点,点
E在
CD上,过点
C作
CF⊥BE,垂足为
F,连接
OF；试利用射影定理证明
△BOF∽△BED. 知识点：平行投影I、射影定理章节：第18章 相似形 / 二 相似三角形 / 18.6 相似三角形的性质
答案与解析
答案
(1)根据题意，图中线段
AC的投影是
AD，线段
BC的投影是
BD，
故答案为：
AD，
BD；
(2)证明：
∵CD⊥AB，
∠ACB=90∘，
∴∠ADC=∠ACB=90∘，
而
∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC:AB=AD:AC，
∴AC2=AD⋅AB；
(3)证明：
∵四边形
ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，
∠BCD=90∘，
∴BC2=BO⋅BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BF⋅BE，
∴BO⋅BD=BF⋅BE，
即
BEBO=BDBF，
∵∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED 解析
(1)根据题意，图中线段
AC的投影是
AD，线段
BC的投影是
BD，
故答案为：
AD，
BD；
(2)证明：
∵CD⊥AB，
∠ACB=90∘，
∴∠ADC=∠ACB=90∘，
而
∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC:AB=AD:AC，
∴AC2=AD⋅AB；
(3)证明：
∵四边形
ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，
∠BCD=90∘，
∴BC2=BO⋅BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BF⋅BE，
∴BO⋅BD=BF⋅BE，
即
BEBO=BDBF，
∵∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED 