操作与研究:如图,$\triangle ABC$被平行于$CD$的光线照射,$CD\bot AB$于$D$,$AB$在投影面上.

$(1)$指出图中线段$AC$的投影是______,线段$BC$的投影是______.
$(2)$问题情景:如图$1$,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD\bot AB$,我们可以利用$\triangle ABC$与$\triangle ACD$相似证明$AC^{2}=AD\times AB$,这个结论我们称之为射影定理,请证明这个定理.
$(3)$拓展运用:如图$2$,正方形$ABCD$的边长为$15$,点$O$是对角线$AC$、$BD$的交点,点$E$在$CD$上,过点$C$作$CF\bot BE$,垂足为$F$,连接$OF$；试利用射影定理证明$\triangle BOF$∽$\triangle BED.$