A

$\because$直线$AB$∥$CD$，点$P$是直线$AB$上一个动点，
$\therefore$无论点$P$怎么移动，点$P$到直线$CD$的距离不变，
$\because \triangle PCD$的底$CD$不变，
$\therefore \triangle PCD$的高不变，面积也不变，
故选：$A$.