（1）证明：如图，连接$OE$，

$\because OE=OC$，
$\therefore \angle OEC=\angle OCE$，
$\because DF=FE$，
$\therefore \angle FED=\angle FDE$，
$\because \angle FDE=\angle CDO$，$\angle CDO+\angle OCD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle FED+\angle OEC=90^{\circ}$，
即$\angle FEO=90^{\circ}$，
$\therefore OE\bot FE$，
$\because OE$是半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线；
$(2)$设$\odot O$的半径$EO=BO=r$，则$BD=BF=r-1$，
$\therefore FE=2BD=2\left(r-1\right)$，
在$Rt\triangle FEO$中，由勾股定理得，
$FE^{2}+OE^{2}=OF^{2}$，
$\therefore \left(2r-2\right)^{2}+r^{2}=\left(2r-1\right)^{2}$，
解得$r=3$，或$r=1(舍去)$，
$\therefore \odot O$的半径为$3$.

（1）证明：如图，连接$OE$，

$\because OE=OC$，
$\therefore \angle OEC=\angle OCE$，
$\because DF=FE$，
$\therefore \angle FED=\angle FDE$，
$\because \angle FDE=\angle CDO$，$\angle CDO+\angle OCD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle FED+\angle OEC=90^{\circ}$，
即$\angle FEO=90^{\circ}$，
$\therefore OE\bot FE$，
$\because OE$是半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线；
$(2)$设$\odot O$的半径$EO=BO=r$，则$BD=BF=r-1$，
$\therefore FE=2BD=2\left(r-1\right)$，
在$Rt\triangle FEO$中，由勾股定理得，
$FE^{2}+OE^{2}=OF^{2}$，
$\therefore \left(2r-2\right)^{2}+r^{2}=\left(2r-1\right)^{2}$，
解得$r=3$，或$r=1(舍去)$，
$\therefore \odot O$的半径为$3$.