证明：（1）连接$BD$

$\because \widehat {CB}=\widehat {CD}$，
$\therefore \angle CDB=\angle CBD$，$CD=BC$
$\because$四边形$ACBD$是圆内接四边形
$\therefore \angle CAE=\angle CBD$，且$\angle CAB=\angle CDB$，
$\therefore \angle CAB=\angle CAE$；
$(2)$连接$OC$

$\because AB$为直径，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}=\angle AEC$，
又$\because \angle CAB=\angle CAE$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACE$，
$\because OB=OC$，
$\therefore \angle BCO=\angle CBO$，
$\therefore \angle BCO=\angle ACE$，
$\therefore \angle ECO=\angle ACE+\angle ACO=\angle BCO+\angle ACO=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore EC\bot OC$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线.
$(3)$过点$C$作$CF\bot AB$于点$F$，

又$\because \angle CAB=\angle CAE$，$CE\bot DA$，
$\therefore AE=AF$，
在$\triangle CED$和$\triangle CFB$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠BFC=90°}\\{∠EDC=∠FBC}\\{CD=BC}\end{array}\right.$
$\therefore \triangle CED$≌$\triangle CFB\left(AAS\right)$，
$\therefore ED=FB$，
设$AB=x$，则$AD=x-2$，
在$\triangle ABD$中，由勾股定理得，$x^{2}=\left(x-2\right)^{2}+4^{2}$，
解得，$x=5$，
$\therefore \odot O$的半径的长为$\frac{5}{2}$.

证明：（1）连接$BD$

$\because \widehat {CB}=\widehat {CD}$，
$\therefore \angle CDB=\angle CBD$，$CD=BC$
$\because$四边形$ACBD$是圆内接四边形
$\therefore \angle CAE=\angle CBD$，且$\angle CAB=\angle CDB$，
$\therefore \angle CAB=\angle CAE$；
$(2)$连接$OC$

$\because AB$为直径，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}=\angle AEC$，
又$\because \angle CAB=\angle CAE$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACE$，
$\because OB=OC$，
$\therefore \angle BCO=\angle CBO$，
$\therefore \angle BCO=\angle ACE$，
$\therefore \angle ECO=\angle ACE+\angle ACO=\angle BCO+\angle ACO=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore EC\bot OC$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线.
$(3)$过点$C$作$CF\bot AB$于点$F$，

又$\because \angle CAB=\angle CAE$，$CE\bot DA$，
$\therefore AE=AF$，
在$\triangle CED$和$\triangle CFB$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠BFC=90°}\\{∠EDC=∠FBC}\\{CD=BC}\end{array}\right.$
$\therefore \triangle CED$≌$\triangle CFB\left(AAS\right)$，
$\therefore ED=FB$，
设$AB=x$，则$AD=x-2$，
在$\triangle ABD$中，由勾股定理得，$x^{2}=\left(x-2\right)^{2}+4^{2}$，
解得，$x=5$，
$\therefore \odot O$的半径的长为$\frac{5}{2}$.