C

$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD$∥$AB,AD$∥$BC$，$CD=AB$，$AD=BC$，
$\therefore \frac{ED}{EA}=\frac{DF}{AB}$，故①正确；
$\therefore \frac{DE}{AD}=\frac{EF}{FB}$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$，故②正确；
$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{BF}{EF}$，故③错误；
$\therefore \frac{BF}{BE}=\frac{AD}{AE}$，即$\frac{BF}{BE}=\frac{BC}{AE}$，故④正确.
故选：$C$.