B

由题意知，$k\neq 0$，方程有两个不相等的实数根，
所以$\Delta\ \ \gt 0$，$\Delta =b^{2}-4ac=\left(2k+1\right)^{2}-4k^{2}=4k+1 \gt 0$.
又$\because$方程是一元二次方程，$\therefore k\neq 0$，
$\therefore k \gt -\frac{1}{4}$且$k\neq 0$.
故选：$B$.