$\left(1\right)\because$点$A\left(4,n\right)$和$B\left(m,1\right)$是反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上的点，
$\therefore n=\frac{8}{4}$，$1=\frac{8}{m}$，
解得$n=2$，$m=8$，
$\because A\left(4,2\right)$，$B\left(8,1\right)$在一次函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的图象上，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{8k+b=1}\end{array}\right.$，解之可得$k=-\frac{1}{4}$，$b=3$，
所以一次函数的表达式是$y=-\frac{1}{4}x+3$；

$(2)$将直线$AB$沿$y$轴负方向平移$a$个单位，可得$y=-\frac{1}{4}x+3-a$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+3-a}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
消去$y$可得$\frac{8}{x}=-\frac{1}{4}x+3-a$，
整理可得$x^{2}-4\left(3-a\right)x+32=0$
因为只有一个交点，
所以$\triangle =16\left(3-a\right)^{2}-4\times 1\times 32=0$，
解得$a=3\pm 2\sqrt{2}$，
所以，将直线$AB$沿$y$轴负方向平移$3\pm 2\sqrt{2}$个单位，平移后的直线与反比例函数图象$y=\frac{8}{x}$恰好只有一个交点.

$\left(1\right)\because$点$A\left(4,n\right)$和$B\left(m,1\right)$是反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上的点，
$\therefore n=\frac{8}{4}$，$1=\frac{8}{m}$，
解得$n=2$，$m=8$，
$\because A\left(4,2\right)$，$B\left(8,1\right)$在一次函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的图象上，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{8k+b=1}\end{array}\right.$，解之可得$k=-\frac{1}{4}$，$b=3$，
所以一次函数的表达式是$y=-\frac{1}{4}x+3$；

$(2)$将直线$AB$沿$y$轴负方向平移$a$个单位，可得$y=-\frac{1}{4}x+3-a$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+3-a}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
消去$y$可得$\frac{8}{x}=-\frac{1}{4}x+3-a$，
整理可得$x^{2}-4\left(3-a\right)x+32=0$
因为只有一个交点，
所以$\triangle =16\left(3-a\right)^{2}-4\times 1\times 32=0$，
解得$a=3\pm 2\sqrt{2}$，
所以，将直线$AB$沿$y$轴负方向平移$3\pm 2\sqrt{2}$个单位，平移后的直线与反比例函数图象$y=\frac{8}{x}$恰好只有一个交点.