（1）因为关于$x$的方程$\left(k-1\right)x^{2}-2kx+k=0$有两个不相等的实数根，
所以$\Delta =\left(-2k\right)^{2}-4\times \left(k-1\right)\times k \gt 0$，
解得$k \gt 0$，
又因为$k-1\neq 0$，
所以$k\neq 1$，
所以$k$的取值范围是$k \gt 0$且$k\neq 1$.
$(2)$因为$k-1\neq 0$，
所以$k\neq 1$.
又因为$k \lt 5$，且$k$为整数，
所以$k=2$或$3$或$4$.
当$k=2$时，
原方程为$x^{2}-4x+2=0$，
此方程的两根都不是整数，
故不符合题意.
当$k=3$时，
原方程为$2x^{2}-6x+3=0$，
此方程的两根都不是整数，
故不符合题意.
当$k=4$时，
原方程为$3x^{2}-8x+4=0$，
此方程的两根为$2$和$\frac{2}{3}$，
故符合题意，
所以$k$的值为$4$.

（1）因为关于$x$的方程$\left(k-1\right)x^{2}-2kx+k=0$有两个不相等的实数根，
所以$\Delta =\left(-2k\right)^{2}-4\times \left(k-1\right)\times k \gt 0$，
解得$k \gt 0$，
又因为$k-1\neq 0$，
所以$k\neq 1$，
所以$k$的取值范围是$k \gt 0$且$k\neq 1$.
$(2)$因为$k-1\neq 0$，
所以$k\neq 1$.
又因为$k \lt 5$，且$k$为整数，
所以$k=2$或$3$或$4$.
当$k=2$时，
原方程为$x^{2}-4x+2=0$，
此方程的两根都不是整数，
故不符合题意.
当$k=3$时，
原方程为$2x^{2}-6x+3=0$，
此方程的两根都不是整数，
故不符合题意.
当$k=4$时，
原方程为$3x^{2}-8x+4=0$，
此方程的两根为$2$和$\frac{2}{3}$，
故符合题意，
所以$k$的值为$4$.