$\left(1\right)\because$方程有实数根，
$\therefore \Delta =2^{2}-4\left(k+1\right)\geqslant 0$，
解得$k\leqslant 0$.
故$k$的取值范围是$k\leqslant 0$.

$(2)$根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=k+1$，
$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=-2-\left(k+1\right)$.
由已知，得$-2-\left(k+1\right) \lt -1$，解得$k \gt -2$.
又由$\left(1\right)k\leqslant 0$，
$\therefore -2 \lt k\leqslant 0$.
$\because k$为整数，
$\therefore k$的值为$-1$或$0$.

$\left(1\right)\because$方程有实数根，
$\therefore \Delta =2^{2}-4\left(k+1\right)\geqslant 0$，
解得$k\leqslant 0$.
故$k$的取值范围是$k\leqslant 0$.

$(2)$根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=k+1$，
$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=-2-\left(k+1\right)$.
由已知，得$-2-\left(k+1\right) \lt -1$，解得$k \gt -2$.
又由$\left(1\right)k\leqslant 0$，
$\therefore -2 \lt k\leqslant 0$.
$\because k$为整数，
$\therefore k$的值为$-1$或$0$.