D

连接$AP$.
$\because AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=36+64=100$，$BC^{2}=100$，
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，
$\therefore \angle BAC=90^{\circ}$，
$\because PE\bot AB$，$PF\bot AC$，
$\therefore \angle AEP=\angle AFP=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AEPF$是矩形，
$\therefore AP=EF$，
$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$M$为$EF$中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}AP$，
当$AP\bot BC$时，$AP$值最小，
此时$S_{\triangle BAC}=\frac{1}{2}\times 6\times 8=\frac{1}{2}\times 10\times AP$，
$AP=4.8$，
即$AP$的范围是$AP\geqslant 4.8$，
$\therefore 2AM\geqslant 4.8$，
$\therefore AM$的范围是$AM\geqslant 2.4($即$x\geqslant 2.4)$.
当$P$和$C$重合时，$AM=4$，
$\because P$和$B$、$C$不重合，
$\therefore x \lt 4$，
综上所述，$x$的取值范围是：$2.4\leqslant x \lt 4$.
故选：$D$.