C

过点$A$作$AD\bot BC$，垂足为$D$，

$\because AB=AC$，$BC=10$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=5$，
$\because \triangle ABC$是周长为$36$的等腰三角形，
$\therefore AB=AC=\frac{36-10}{2}=13$，
在$Rt\triangle ABD$中，
$\therefore AD=\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{169-25}=12$，
$\therefore tanB=\frac{AD}{BD}=\frac{12}{5}$.
故选：$C$.