如图,在一条不完整的数轴上从左到右有$A$、$B$、$C$三个点,其中$AB=3$,$BC=4$,设点$A$、$B$、$C$所对应的数的和是$p$.
$(1)$若以$B$为原点,写出点$A$、$C$所对应的数,并计算$p$的值；若以$C$为原点,$p$的值为______.
$(2)$若原点$O$在图中数轴上点$A$的左侧,且$BO=22$,求$p$的值；
$(3)$若原点$O$在图中数轴上点$B$的右侧,且$CO=a\left(a \gt 0\right)$,求$p$的值（用含$a$的代数式表示).