（1）把$\left(3,-2\right)$，$\left(0,4\right)$代入$y=kx+b$，
得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$l$的解析式为$y=-2x+4$，
当$x=5$时，$y=-2\times 5+4=-6$，
故答案为：$-6$；
$(2)$解$-2x+4 \gt 1$得，$x \lt \frac{3}{2}$，
$\therefore$当$x＜\frac{3}{2}$时，$y \gt 1$，
故答案为：$\lt \frac{3}{2}$；
$(3)$在$y=-2x+4$中，令$y=0$，则$-2x+4=0$，
解得$x=2$，
$\therefore$直线$l$与两坐标轴所围成的三角形的面积为$=\frac{1}{2}×2×4=4$，
故答案为：$4$；
$(4)-2x+4=-2$，解得$x=3$；
$mx=-2$，解得$x=-\frac{2}{m}$，
$\because$函数$y=mx\left(m \lt 0\right)$的值比函数$y=kx+b$的值先到达$-2$，
$\therefore -\frac{2}{m} \lt 3$，
$\because m \lt 0$，
$\therefore m \lt -\frac{2}{3}$.

（1）把$\left(3,-2\right)$，$\left(0,4\right)$代入$y=kx+b$，
得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$l$的解析式为$y=-2x+4$，
当$x=5$时，$y=-2\times 5+4=-6$，
故答案为：$-6$；
$(2)$解$-2x+4 \gt 1$得，$x \lt \frac{3}{2}$，
$\therefore$当$x＜\frac{3}{2}$时，$y \gt 1$，
故答案为：$\lt \frac{3}{2}$；
$(3)$在$y=-2x+4$中，令$y=0$，则$-2x+4=0$，
解得$x=2$，
$\therefore$直线$l$与两坐标轴所围成的三角形的面积为$=\frac{1}{2}×2×4=4$，
故答案为：$4$；
$(4)-2x+4=-2$，解得$x=3$；
$mx=-2$，解得$x=-\frac{2}{m}$，
$\because$函数$y=mx\left(m \lt 0\right)$的值比函数$y=kx+b$的值先到达$-2$，
$\therefore -\frac{2}{m} \lt 3$，
$\because m \lt 0$，
$\therefore m \lt -\frac{2}{3}$.