A

横坐标与纵坐标互为相反数的点在直线$y=-x$上，故①正确；
如果变量$x$、$y$满足$x^{2}+y^{2}=1$，对一个$x$的确定的值，$y$的值不唯一，$y$不是$x$的函数，故②错误；
点$P$的坐标为$\left(a,b\right)$且$ab=0$，则$a=0$或$b=0$，点$P$在$x$轴或$y$轴上，故③错误；
函数$y=-\frac{2}{x}$中，当$x \gt 0$或$x \lt 0$时，$y$随$x$的增大而增大，故④错误，
在$y=\frac{1}{{{x^2}}}+\sqrt{-x}$中，$x \lt 0$，$y \gt 0$，故点$P\left(x,y\right)$在函数$y=\frac{1}{{{x^2}}}+\sqrt{-x}$的图象上，那么点$P$应在平面直角坐标系中的第二象限，⑤正确，
$\therefore$正确的有①⑤，
故选：$A$.