$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB=DC$，$\angle B=\angle C=90^{\circ}$，
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore BE=CE$，
在$\triangle ABE$和$\triangle DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=DC\\∠B=∠C\\ BE=CE\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle DCE\left(SAS\right)$
$(2)$证明：$\because \triangle ABE$≌$\triangle DCE$，
$\therefore AE=DE$，
$\therefore \angle EAD=\angle EDA$.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB=DC$，$\angle B=\angle C=90^{\circ}$，
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore BE=CE$，
在$\triangle ABE$和$\triangle DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=DC\\∠B=∠C\\ BE=CE\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle DCE\left(SAS\right)$
$(2)$证明：$\because \triangle ABE$≌$\triangle DCE$，
$\therefore AE=DE$，
$\therefore \angle EAD=\angle EDA$.