$\left(1\right)A=(a+1-\frac{3}{a-1})\div \frac{a^2-4a+4}{a-1}$
$=[\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{3}{a-1}]\div \frac{(a-2)^{2}}{a-1}$
$=(\frac{{a}^{2}-1}{a-1}-\frac{3}{a-1})\times \frac{a-1}{(a-2)^{2}}$
$=\frac{{a}^{2}-4}{a-1}\times \frac{a-1}{(a-2)^{2}}$
$=\frac{(a+2)(a-2)}{a-1}\times \frac{a-1}{(a-2)^{2}}$
$=\frac{a+2}{a-2}$.
$(2)$分式$B$的值较原来分式$A$的值是变小了.
理由：$B=\frac{a+2+4}{a-2+4}=\frac{a+6}{a+2}$.
$A-B=\frac{a+2}{a-2}-\frac{a+6}{a+2}$
$=\frac{{a}^{2}+4a+4}{(a+2)(a-2)}-\frac{{a}^{2}+4a-12}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{16}{(a+2)(a-2)}$.
$\because a \gt 2$，
$\therefore a+2 \gt 0$，$a-2 \gt 0$，
$\therefore \frac{16}{(a+2)(a-2)} \gt 0$，即$A-B \gt 0$.
$\therefore A \gt B$，即分式$B$的值较原来分式$A$的值是变小了.
$(3)A=\frac{a+2}{a-2}=\frac{a-2+4}{a-2}=1+\frac{4}{a-2}$.
$\because A$的值是整数，
$\therefore \frac{4}{a-2}$是整数.
$\therefore a-2=\pm 1$、$\pm 2$、$\pm 4$.
$\because a$也为整数，
$\therefore a=3$、$1$、$0$、$4$、$6$、$-2$.
因为$a=1$、$2$时，原分式无意义，
$\therefore a=3$、$0$、$4$、$6$、$-2$.
所以符合条件的所有$a$值的和为：$3+0+4+6-2=11$.

$\left(1\right)A=(a+1-\frac{3}{a-1})\div \frac{a^2-4a+4}{a-1}$
$=[\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{3}{a-1}]\div \frac{(a-2)^{2}}{a-1}$
$=(\frac{{a}^{2}-1}{a-1}-\frac{3}{a-1})\times \frac{a-1}{(a-2)^{2}}$
$=\frac{{a}^{2}-4}{a-1}\times \frac{a-1}{(a-2)^{2}}$
$=\frac{(a+2)(a-2)}{a-1}\times \frac{a-1}{(a-2)^{2}}$
$=\frac{a+2}{a-2}$.
$(2)$分式$B$的值较原来分式$A$的值是变小了.
理由：$B=\frac{a+2+4}{a-2+4}=\frac{a+6}{a+2}$.
$A-B=\frac{a+2}{a-2}-\frac{a+6}{a+2}$
$=\frac{{a}^{2}+4a+4}{(a+2)(a-2)}-\frac{{a}^{2}+4a-12}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{16}{(a+2)(a-2)}$.
$\because a \gt 2$，
$\therefore a+2 \gt 0$，$a-2 \gt 0$，
$\therefore \frac{16}{(a+2)(a-2)} \gt 0$，即$A-B \gt 0$.
$\therefore A \gt B$，即分式$B$的值较原来分式$A$的值是变小了.
$(3)A=\frac{a+2}{a-2}=\frac{a-2+4}{a-2}=1+\frac{4}{a-2}$.
$\because A$的值是整数，
$\therefore \frac{4}{a-2}$是整数.
$\therefore a-2=\pm 1$、$\pm 2$、$\pm 4$.
$\because a$也为整数，
$\therefore a=3$、$1$、$0$、$4$、$6$、$-2$.
因为$a=1$、$2$时，原分式无意义，
$\therefore a=3$、$0$、$4$、$6$、$-2$.
所以符合条件的所有$a$值的和为：$3+0+4+6-2=11$.