已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\left(m-1\right)x+3m-12=0$.
$(1)$求证:无论$m$取何值,方程总有两个实数根；
$(2)$矩形$ABCD$的两条边$AB$,$BC$恰好是这个方程的两个根,
①当$m=$______时,矩形$ABCD$是正方形,此时正方形的边长是______.
②当矩形$ABCD$的对角线长为$\sqrt{13}$时,求矩形的面积.