$(1)$证明：由题意可知：$\Delta =\left[-\left(m-1\right)\right]^{2}-4\times 1\times \left(3m-12\right)=\left(m-7\right)^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$无论$m$取何值，方程总有两个实数根；
$(2)$①$\because$当矩形$ABCD$是正方形时，$AB=BC$，即方程有两个相等的根，
$\therefore \left(m-7\right)^{2}=0$，
解得，$m=7$，
当$m=7$时，一元二次方程为：$x^{2}-6x+9=0$，
$\therefore \left(x-3\right)^{2}=0$，
解得，$x_{1}=x_{2}=3$，
即$AB=BC=3$，
故答案为：$7$，$3$；
②当矩形$ABCD$的对角线长为$\sqrt{13}$时，$A{B}^{2}+B{C}^{2}={(\sqrt{13})}^{2}$，
设方程的两个根据为$x_{1}$，$x_{2}$，则${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}=13$，
$\because x_{1}+x_{2}=m-1$，$x_{1}x_{2}=3m-12$，${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$，
$\therefore \left(m-1\right)^{2}-2\left(3m-12\right)=13$，整理得，$m^{2}-8m+12=0$，
解得，$m_{1}=2$，$m_{2}=6$，
$\therefore$矩形的面积为$2\times 6=12$.

$(1)$证明：由题意可知：$\Delta =\left[-\left(m-1\right)\right]^{2}-4\times 1\times \left(3m-12\right)=\left(m-7\right)^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$无论$m$取何值，方程总有两个实数根；
$(2)$①$\because$当矩形$ABCD$是正方形时，$AB=BC$，即方程有两个相等的根，
$\therefore \left(m-7\right)^{2}=0$，
解得，$m=7$，
当$m=7$时，一元二次方程为：$x^{2}-6x+9=0$，
$\therefore \left(x-3\right)^{2}=0$，
解得，$x_{1}=x_{2}=3$，
即$AB=BC=3$，
故答案为：$7$，$3$；
②当矩形$ABCD$的对角线长为$\sqrt{13}$时，$A{B}^{2}+B{C}^{2}={(\sqrt{13})}^{2}$，
设方程的两个根据为$x_{1}$，$x_{2}$，则${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}=13$，
$\because x_{1}+x_{2}=m-1$，$x_{1}x_{2}=3m-12$，${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$，
$\therefore \left(m-1\right)^{2}-2\left(3m-12\right)=13$，整理得，$m^{2}-8m+12=0$，
解得，$m_{1}=2$，$m_{2}=6$，
$\therefore$矩形的面积为$2\times 6=12$.