由已知，$mnp=5\left(m+n+p\right)$，

由于$m$，$n$，$p$均为质数，$5\left(m+n+p\right)$中含有因数$5$，

$\therefore m$，$n$，$p$中一定有一个是$5$，

不妨设$m=5$.则$5np=5\left(5+n+p\right)$，即$np=5+n+p$，

$\therefore np-n-p+1=6$即$\left(n-1\right)\left(p-1\right)=6$，

又$n$，$p$均为质数，

$\therefore \left\{\begin{array}{}n-1=1 \\ p-1=6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{}n-1=2 \\ p-1=3\end{array}\right.$，

解得$\left\{\begin{array}{}n=2 \\ p=7\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{}n=3 \\ p=4\end{array}\right.($不合题意舍去）

$\therefore m=5$，$n=2$，$p=7$，

$\therefore m^{2}+n^{2}+p^{2}=25+4+49=78$.

由已知，$mnp=5\left(m+n+p\right)$，

由于$m$，$n$，$p$均为质数，$5\left(m+n+p\right)$中含有因数$5$，

$\therefore m$，$n$，$p$中一定有一个是$5$，

不妨设$m=5$.则$5np=5\left(5+n+p\right)$，即$np=5+n+p$，

$\therefore np-n-p+1=6$即$\left(n-1\right)\left(p-1\right)=6$，

又$n$，$p$均为质数，

$\therefore \left\{\begin{array}{}n-1=1 \\ p-1=6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{}n-1=2 \\ p-1=3\end{array}\right.$，

解得$\left\{\begin{array}{}n=2 \\ p=7\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{}n=3 \\ p=4\end{array}\right.($不合题意舍去）

$\therefore m=5$，$n=2$，$p=7$，

$\therefore m^{2}+n^{2}+p^{2}=25+4+49=78$.