设甲、乙、丙单独完成这项工程各需$x$天、$y$天、$z$天，根据题意得，

$x=a \cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ayz}{y+z}$，

由此得出$a=\dfrac{xy+xz}{yz}$，$a+1=\dfrac{xy+yz+xz}{yz}$，

$\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{yz}{xy+yz+xz}$；

同理可得$\dfrac{1}{b+1}=\dfrac{xz}{xy+yz+xz}$，$\dfrac{1}{c+1}=\dfrac{xy}{xy+yz+xz}$；

所以$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=\dfrac{yz}{xy+yz+xz}+\dfrac{xz}{xy+yz+xz}+\dfrac{xy}{xy+yz+xz}=\dfrac{xy+yz+xz}{xy+yz+xz}=1$.

设甲、乙、丙单独完成这项工程各需$x$天、$y$天、$z$天，根据题意得，

$x=a \cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ayz}{y+z}$，

由此得出$a=\dfrac{xy+xz}{yz}$，$a+1=\dfrac{xy+yz+xz}{yz}$，

$\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{yz}{xy+yz+xz}$；

同理可得$\dfrac{1}{b+1}=\dfrac{xz}{xy+yz+xz}$，$\dfrac{1}{c+1}=\dfrac{xy}{xy+yz+xz}$；

所以$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=\dfrac{yz}{xy+yz+xz}+\dfrac{xz}{xy+yz+xz}+\dfrac{xy}{xy+yz+xz}=\dfrac{xy+yz+xz}{xy+yz+xz}=1$.