已知:抛物线${y}_{1}=-{x}^{2}+2x+c$与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于$C$点,且点$A$的坐标为$\left(-1,0\right)$,结合图象回答以下问题:
$(1)$方程$-x^{2}+2x+c=0$的根是______；
$(2)$函数值不大于$0$,$x$的取值是______；
$(3)$当$y$随$x$的增大而减小时,$x$的取值是______；
$(4)$当$0\leqslant x \lt 3$时,$y$的取值范围是______；
$(5)$若直线$y_{2}$经过$B$、$C$两点,则$y_{1} \gt y_{2}$时,$x$的取值是______；
$(6)\triangle ABC$的面积是______.