（1）将二次函数的解析式化为顶点式可得：${y}_{1}=-{x}^{2}+2x+c=-{(x-1)}^{2}+c+1$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=1$，
$\because$抛物线与$x$轴的一个交点为点$\left(-1,0\right)$
$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点为点$\left(3,0\right)$，
$\therefore$方程$-x^{2}+2x+c=0$的根是$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；
故答案为：$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；
$(2)$由图象可知：函数值不大于$0$时，$x$的取值是$x\geqslant 3$或$x\leqslant -1$；
故答案为：$x\geqslant 3$或$x\leqslant -1$；
$(3)\because$由图象可知：抛物线的开口向下，且抛物线的对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$当$y$随$x$的增大而减小时，$x$的取值是$x \gt 1$；
故答案为：$x \gt 1$；
$(4)\because$抛物线与$x$轴的一个交点为点$\left(-1,0\right)$，
$\therefore -1^{2}-2+c=0$，
$\therefore c=3$，
$\therefore$原抛物线的解析式为${y}_{1}=-{(x-1)}^{2}+4$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$\left(1,4\right)$，
即该二次函数的最大值为$4$，
观察图象得：当$0\leqslant x \lt 3$时，$y$的取值范围是$0 \lt y\leqslant 4$；
故答案为：$0 \lt y\leqslant 4$；
$(5)$观察图象得：当$0 \lt x \lt 3$时，直线$y_{2}$位于抛物线的下方，
$\therefore y_{1} \gt y_{2}$时，$x$的取值是$0 \lt x \lt 3$；
故答案为：$0 \lt x \lt 3$；
$(6)$当$x=0$时，$y=3$，
$\therefore$点$C\left(0,3\right)$，即$OC=3$，
$\because$点$A\left(-1,0\right)$，$B\left(3,0\right)$，
$\therefore AB=4$，
$\therefore \triangle ABC$的面积是$\frac{1}{2}OC×AB=6$，
故答案为：$6$.

（1）将二次函数的解析式化为顶点式可得：${y}_{1}=-{x}^{2}+2x+c=-{(x-1)}^{2}+c+1$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=1$，
$\because$抛物线与$x$轴的一个交点为点$\left(-1,0\right)$
$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点为点$\left(3,0\right)$，
$\therefore$方程$-x^{2}+2x+c=0$的根是$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；
故答案为：$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；
$(2)$由图象可知：函数值不大于$0$时，$x$的取值是$x\geqslant 3$或$x\leqslant -1$；
故答案为：$x\geqslant 3$或$x\leqslant -1$；
$(3)\because$由图象可知：抛物线的开口向下，且抛物线的对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$当$y$随$x$的增大而减小时，$x$的取值是$x \gt 1$；
故答案为：$x \gt 1$；
$(4)\because$抛物线与$x$轴的一个交点为点$\left(-1,0\right)$，
$\therefore -1^{2}-2+c=0$，
$\therefore c=3$，
$\therefore$原抛物线的解析式为${y}_{1}=-{(x-1)}^{2}+4$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$\left(1,4\right)$，
即该二次函数的最大值为$4$，
观察图象得：当$0\leqslant x \lt 3$时，$y$的取值范围是$0 \lt y\leqslant 4$；
故答案为：$0 \lt y\leqslant 4$；
$(5)$观察图象得：当$0 \lt x \lt 3$时，直线$y_{2}$位于抛物线的下方，
$\therefore y_{1} \gt y_{2}$时，$x$的取值是$0 \lt x \lt 3$；
故答案为：$0 \lt x \lt 3$；
$(6)$当$x=0$时，$y=3$，
$\therefore$点$C\left(0,3\right)$，即$OC=3$，
$\because$点$A\left(-1,0\right)$，$B\left(3,0\right)$，
$\therefore AB=4$，
$\therefore \triangle ABC$的面积是$\frac{1}{2}OC×AB=6$，
故答案为：$6$.