$(1)$由题意，得$\left\{\begin{array}{c}4a+2b-3=1\\ a-b-3=-8\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
$\therefore$此抛物线的解析式为$y=-x^{2}+4x-3$；
$(2)$当$y=0$时，$-x^{2}+4x-3=0$
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=3$.
根据函数图象可得，当$y \lt 0$时，则$x$的取值范围为$x \lt 1$或$x \gt 3$，
故答案为：$x \lt 1$或$x \gt 3$.

$(1)$由题意，得$\left\{\begin{array}{c}4a+2b-3=1\\ a-b-3=-8\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
$\therefore$此抛物线的解析式为$y=-x^{2}+4x-3$；
$(2)$当$y=0$时，$-x^{2}+4x-3=0$
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=3$.
根据函数图象可得，当$y \lt 0$时，则$x$的取值范围为$x \lt 1$或$x \gt 3$，
故答案为：$x \lt 1$或$x \gt 3$.