$\left(1\right)\because$抛物线$y=a\left(x-2\right)^{2}+1$经过点$A\left(1,-1\right)$，
$\therefore a\cdot \left(1-2\right)^{2}+1=-1$，
$\therefore a=-2$，
$\therefore$此抛物线对应的函数解析式为$y=-2\left(x-2\right)^{2}+1$；
$(2)$抛物线开口向下，顶点坐标为$\left(2,1\right)$，对称轴为直线$x=2$；
$(3)$把$x=3$代入得，$y=-2\times \left(3-2\right)^{2}+1=-1$，
所以点$\left(3,-2\right)$不在此抛物线上；
$(4)$把$y=-3$代入$y=-2\left(x-2\right)^{2}+1$得，$-2\left(x-2\right)^{2}+1=-3$，
解得$x=2\pm \sqrt{2}$.
所以抛物线上纵坐标为$-3$的点的坐标为$(2+\sqrt{2}$，$-3)$或$(2-\sqrt{2}$，$-3)$.

$\left(1\right)\because$抛物线$y=a\left(x-2\right)^{2}+1$经过点$A\left(1,-1\right)$，
$\therefore a\cdot \left(1-2\right)^{2}+1=-1$，
$\therefore a=-2$，
$\therefore$此抛物线对应的函数解析式为$y=-2\left(x-2\right)^{2}+1$；
$(2)$抛物线开口向下，顶点坐标为$\left(2,1\right)$，对称轴为直线$x=2$；
$(3)$把$x=3$代入得，$y=-2\times \left(3-2\right)^{2}+1=-1$，
所以点$\left(3,-2\right)$不在此抛物线上；
$(4)$把$y=-3$代入$y=-2\left(x-2\right)^{2}+1$得，$-2\left(x-2\right)^{2}+1=-3$，
解得$x=2\pm \sqrt{2}$.
所以抛物线上纵坐标为$-3$的点的坐标为$(2+\sqrt{2}$，$-3)$或$(2-\sqrt{2}$，$-3)$.