D

$A$、由抛物线可知，$a \gt 0$，由直线可知，$a \lt 0$，错误；
$B$、由抛物线可知，$a \lt 0$，由直线可知，$a \gt 0$，错误；
$C$、由抛物线可知，$a \gt 0$，由直线可知，$a \lt 0$，$b \gt 0$，错误；
$D$、由抛物线可知，$a \lt 0$，过点$\left(0,c\right)$，由直线可知，$a \lt 0$，过点$\left(0,c\right)$，正确.
故选：$D$.