A

$A$、一次函数图象向左平移$2$个单位长度，再向上平移$2$个单位长度后的解析式为$y=2\left(x+2\right)+4+2=2x+10$，此时函数图象不过原点，符合题意；
$B$、一次函数图象向右平移$1$个单位长度，再向下平移$2$个单位长度后解析式为：$y=2\left(x-1\right)+4-2=2x$，此时函数图象过原点，不符合题意；
$C$、一次函数图象向右平移$2$个单位长度后解析式为：$y=2\left(x-2\right)+4=2x$，此时函数图象过原点，不符合题意；
$D$、一次函数图象向下平移$4$个单位长度后解析式为：$y=2x+4-4=2x$，此时函数图象过原点，不符合题意.
故选：$A$.